Рис. 4.4. Локальная система координат треугольного элемента
Три координаты
Решая (4.6) относительно
где i, j, k образуют циклическую перестановку индексов 1.2.3.
По аналогии с треугольными локальными координатами могут быть построены локальные координаты для тетраэдров. Каждой грани тетраэдра соответствует координата
4.4. Лагранжево семейство элементов
В соответствии с представленным выше определением базисных функций в МКЭ, каждая из таких функций должна принимать единичные значения в одноименных узлах, нулевые значения во всех других узлах и быть отличной от нуля на конечных элементах, содержащих рассматриваемый узел. Для построения таких функций в явной форме могут быть использованы рассмотренные во второй главе настоящего пособия интерполяционные полиномы Лагранжа
где
Поэтому такие полиномы могут быть непосредственно приняты в качестве функций формы одномерных элементов.
Например, в локальной системе
Для квадратичного элемента
Функции формы прямоугольных двумерных элементов могут быть получены в виде произведения одномерных полиномов Лагранжа по каждой из координат
Рис. 4.5. Схема нумерации узлов элементов Лагранжева семейства
В частности, для билинейного элемента (см. рис. 4.3) p = q =2
В пространственном случае функции формы прямоугольных шестигранных элементов могут быть получены аналогично, в виде произведения трех одномерных полиномов вдоль координат
Рассмотренное семейство лагранжевых элементов удовлетворяет условию непрерывности функций вдоль граней и сторон элемента и условиям геометрической изотропии (при m = n). Основными недостатками элементов этого семейства являются наличие внутренних узлов в элементах, функции которых аппроксимируются полиномами выше первого порядка, и неполнота аппроксимирующего полинома. Например, характеристический полином, аппроксимирующий функцию
Этот полином не содержит членов со степенями
4.5. Сирендипово семейство элементов
Перечисленные выше недостатки лагранжевых элементов в меньшей степени присущи элементам сирендипова семейства, функции, формы которых были найдены путем непосредственного подбора [3]. Одномерные элементы сирендипова семейства, а также двумерные и пространственные элементы первого порядка полностью совпадают с аналогичными лагранжевыми элементами. Двумерные и пространственные сирендиповы элементы второго и третьего порядков, в отличие от аналогичных лагранжевых элементов, не содержат внутренних узлов и при одинаковых законах изменения функций вдоль сторон, имеют значительное различие в изменении этих функций внутри элемента. Для сравнения, на рис.4.6 изображены некоторые функции формы элементов сирендипова и лагранжева семейств второго порядка.
Рис. 4.6. Характер изменения функций в сирендиповых Лагранжевых элементах
Как уже говорилось, функции формы сирендиповых прямоугольных элементов первого порядка совпадают с лагранжевыми и определяются соотношениями 4.12.