Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информати (стр. 14 из 16)
Рис. 4.4. Локальная система координат треугольного элемента
Три координаты
не являются независимыми, т.к. их связывает очевидное соотношение 
. Каждой совокупности локальных координат 
и 
соответствует единственная пара декартовых координат. Связь между ними может быть записана в виде 
,
, (4.6)
.Решая (4.6) относительно
, можно получить
, (4.7) 
где i, j, k образуют циклическую перестановку индексов 1.2.3.
По аналогии с треугольными локальными координатами могут быть построены локальные координаты для тетраэдров. Каждой грани тетраэдра соответствует координата
, где i - номер узла противоположного рассматриваемой грани, в котором значение этой координаты 
. Координата любой точки тетраэдра определяется отношением объема части тетраэдра к его полному объему.4.4. Лагранжево семейство элементов
В соответствии с представленным выше определением базисных функций в МКЭ, каждая из таких функций должна принимать единичные значения в одноименных узлах, нулевые значения во всех других узлах и быть отличной от нуля на конечных элементах, содержащих рассматриваемый узел. Для построения таких функций в явной форме могут быть использованы рассмотренные во второй главе настоящего пособия интерполяционные полиномы Лагранжа
(4.8)где
- координаты узлов интерполяции.Поэтому такие полиномы могут быть непосредственно приняты в качестве функций формы одномерных элементов.
Например, в локальной системе
( 
- координата центра элемента, 
− его длина) функции формы элемента первого порядка 
будут иметь вид 
,
(4.9)Для квадратичного элемента
функции формы будут такими 
(4.10)Функции формы прямоугольных двумерных элементов могут быть получены в виде произведения одномерных полиномов Лагранжа по каждой из координат
и 
. При этом, в общем случае, порядок полиномов р - вдоль 
и q - вдоль координаты может быть различным. Если обозначить номера узлов в элементе индексами i j, где i и j - номера узлов интерполяции на сторонах элемента (см. рис. 4.5) вдоль координат 
и соответственно, то сама искомая функция и функция формы элемента могут быть записаны в виде 
. (4.11) 
Рис. 4.5. Схема нумерации узлов элементов Лагранжева семейства
В частности, для билинейного элемента (см. рис. 4.3) p = q =2
(4.12) 
В пространственном случае функции формы прямоугольных шестигранных элементов могут быть получены аналогично, в виде произведения трех одномерных полиномов вдоль координат
и 
соответственно 
. (4.13)Рассмотренное семейство лагранжевых элементов удовлетворяет условию непрерывности функций вдоль граней и сторон элемента и условиям геометрической изотропии (при m = n). Основными недостатками элементов этого семейства являются наличие внутренних узлов в элементах, функции которых аппроксимируются полиномами выше первого порядка, и неполнота аппроксимирующего полинома. Например, характеристический полином, аппроксимирующий функцию
в лагранжевом прямоугольном элементе 2-го порядка, может быть записан в виде 
. (4.14)Этот полином не содержит членов со степенями
и 
, которые были бы желательны для полного кубического представления функции, и в то же время включает член 
более высокого порядка.4.5. Сирендипово семейство элементов
Перечисленные выше недостатки лагранжевых элементов в меньшей степени присущи элементам сирендипова семейства, функции, формы которых были найдены путем непосредственного подбора [3]. Одномерные элементы сирендипова семейства, а также двумерные и пространственные элементы первого порядка полностью совпадают с аналогичными лагранжевыми элементами. Двумерные и пространственные сирендиповы элементы второго и третьего порядков, в отличие от аналогичных лагранжевых элементов, не содержат внутренних узлов и при одинаковых законах изменения функций вдоль сторон, имеют значительное различие в изменении этих функций внутри элемента. Для сравнения, на рис.4.6 изображены некоторые функции формы элементов сирендипова и лагранжева семейств второго порядка.
Рис. 4.6. Характер изменения функций в сирендиповых Лагранжевых элементах
Как уже говорилось, функции формы сирендиповых прямоугольных элементов первого порядка совпадают с лагранжевыми и определяются соотношениями 4.12.