Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информати (стр. 13 из 16)

В результате функции формы элемента могут быть получены в виде

(4.3)

.

Одним из основных недостатков рассмотренного подхода является необходимость обращения матрицы

для каждого конечного элемента исследуемой области. В случае использования полиномов выше первого порядка обращение этой матрицы в явном виде представляется весьма сложным и приходится применять численные процедуры. Кроме этого при использовании неполных полиномов выполнение условий межэлементной совместности функций, построенных на основе рассмотренного подхода, не является очевидным. Для выяснения этих условий следует записать закон распределения функций для каждой из сторон (граней) на основе принятого распределения в элементе и установить соответствие между числом неопределенных параметров в получающемся распределении с числом узловых значений функций на рассматриваемой стороне. Например, в представленном на рис.4.2 четырехугольном конечном элементе с билинейным законом распределения функций (4.1) непрерывность функции u(x,y) вдоль сторон 1-2 и 2-3 будет выполняться по разному. Если в элементе ввести локальные координаты и направленные вдоль первой и второй сторон соответственно, то связь этих координат с общими декартовыми координатами x,y можно представить в виде

.

Рис. 4.2. Схема четырехузлового непрямоугольного элемента

Тогда изменения функции

и вдоль сторон S₁ и S₂ могут быть определены подстановкой этих выражений в соотношения (4.1)

.

Вдоль первой стороны функция

меняется линейно, и параметры и могут быть однозначно определены через узловые функции и , т.е. условия непрерывности выполняются.

Вдоль второй стороны

меняется по квадратичному закону и для определения трех параметров и недостаточно двух узловых значений функций и . Поэтому, в общем случае условия непрерывности вдоль этой стороны будут нарушены. Однако при параметр обращается в ноль и оставшиеся параметры могут быть однозначно определены узловыми значениями функций и .

Таким образом, непрерывность функций, определенных в четырехугольных элементах соотношениями (4.1), будет выполняться лишь для прямоугольных элементов, стороны которых параллельны осям координат. Такая же ситуация характерна для всех моделей конечных элементов, в которых используются для аппроксимации функций неполные полиномы.

Нетрудно показать, что для треугольных конечных элементов при использовании для аппроксимации функций полных полиномов условия межэлементной совместности будут выполняться для всех сторон, вне зависимости их ориентации по отношению к осям координат.

4.3. Построение локальных систем координат

Наиболее существенные недостатки рассмотренного выше общего метода построения базисных функций в МКЭ могут быть устранены путем получения этих функций в явном виде с использованием специально выбранных локальных систем координат [2,3,5]. Обычно эти координаты нормированы и связаны со сторонами элемента.

В одномерном случае направление локальной координаты

выбирается вдоль оси элемента с началом в его центре или в первом из узлов.

В первом случае связь локальной координаты

с глобальной координатой осуществляется в виде

,

где

- координаты центра элемента; -длина элемента.

Для двухузлового конечного элемента с координатами граничных узлов

и соответственно: . В граничных узлах элемента координата принимает значения .

Во втором случае локальная координата

связана с глобальной координатой соотношением

В граничных узлах такого элемента

.

В двумерном случае для прямоугольных элементов локальные координаты

выбираются так, чтобы стороны прямоугольника совпадали с координатными линиями (см. рис. 4.3). Эти координаты связаны с глобальными координатами x и y соотношениями

(4.4)

где

- координаты центра элемента, обозначенные на рис. 4.3; 2а и 2b – размеры сторон элемента вдоль осей x и y, соответственно.

Аналогичным образом строятся локальные нормализованные координаты для пространственных прямоугольных призматических элементов.

Рис. 4.3. Локальная система координат четырехузлового прямоугольного элемента

Локальные координаты в треугольных элементах строятся на основе отношения площадей треугольника, ограниченных линиями, соединяющими текущую точку с узлами треугольника к его полной площади. Так, для треугольного элемента, изображенного на рис. 4.4, три локальные координаты

и определяются следующими отношениями

(4.5)

где

и - площади треугольников с вершинами в точке P и основаниями и соответственно; - площадь элемента. Координаты и определяются аналогично. Основаниям треугольников соответствуют значения