Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информати (стр. 12 из 16)
В результате система алгебраических уравнений (3.10) примет вид:
.где
(m=1-4) –глобальные неизвестные в узлах сетки КЭ.Вычеркивая из полученной системы строки 1 и 4 (поскольку
и 
известны из краевых условий) и подставляя в строку 3 значение 
, получим 
Решая систему, найдем
.Кроме этого, используя первое и последнее уравнения полученной выше системы можно получить значения производных
на концах отрезка: 
Для сравнения в таблице 3.1 приведены результаты решения этой задачи, полученные на основе метода конечных разностей (МКР) и точного решения (ТР).
Таблица 3.1
Результаты решения задачи на основе точного решения (ТР), МКЭ и метода конечных разностей (МКР) при М=3
| Функция | МКЭ | МКР | ТР. |
| T(x=1/3) | 0.2885 | 0.2893 | 0.2889 |
| T(x=2/3) | 0.6098 | 0.6107 | 0.6102 |
 | 0.8496 | 0.8509 | |
 | 1.3156 | 1.3130 |
Сравнение полученных результатов позволяет судить о том, что для рассмотренной задачи при одинаковом числе разбиений отрезка точность решения на основе МКЭ и МКР практически одинакова.
В случае решения рассмотренной выше задачи с краевыми условиями
при x=0 и 
при x=1.в уравнение МВН должна быть включена невязка краевых условий на границе x=1, где задан поток тепла 
.Выполняя интегрирование по частям и, полагая
, получим 
При использовании метода Галеркина
и делении отрезка на три равных КЭ, матрицы [k]e отдельных элементов матрица [K] всей системы сохраняются прежними. Меняется лишь вектор {R} 
С учетом
решение задачи сводится к решению системы 3-х алгебраических уравнений. Результаты решения и сравнение их с результатами решений, полученных на основе точного решения (ТР) и метода конечных разностей (МКР) приведено в таблице 3.2. | Функция | МКЭ | МКР | ТР |
 | 0.2193 | 0.2168 | 0.220 |
 | 0.4634 | 0.4576 | 0.4648 |
 | 0.7600 | 0.7493 | 0.7616 |
dT/dx(x=0)  | 0.6457 | 0.6481 |
Таблица 3.2
Результаты решения задачи на основе точного решения (ТР), МКЭ и метода конечных разностей (МКР) при М=3
Представленные данные показывают, что на основе МКЭ результаты решения задачи оказываются значительно более точными, чем на основе МКР с использованием центрально-разностной аппроксимации градиента температуры на конце отрезка (погрешность
).Как следует из приведенных выше примеров, применение МКЭ, по сравнению с рассмотренными ранее формулировками МВН, позволяют получать симметричные, узколенточные матрицы систем алгебраических уравнений. При этом такие матрицы оказываются хорошо обусловленными.
4. Построение базисных координатных функций в МКЭ
4.1. Основные требования к координатным функциям в МКЭ
Первым и вероятно наиболее ответственным шагом построения конкретных методик решения задач на основе МВН в форме МКЭ является выбор базисных функций используемых конечных элементов. Очевидно, что для получения качественного решения такие функции должны удовлетворять определенным требованиям, обеспечивающим сходимость КЭ решений [2-4]. Часть таких требований была сформулирована в предыдущей главе для базисных функций в МВН, а именно:
- функции должны быть линейно независимы;
-функции должны удовлетворять условиям полноты.
В МКЭ кусочно-определенные базисные функции также должны удовлетворять условиям непрерывности - иметь непрерывные производные до порядка S-1, где S - максимальный порядок производных, входящих в подынтегральные выражения МВН.
Кроме этого к координатным функциям в МКЭ предъявляется еще ряд специфических требований, среди которых важнейшими являются следующие:
- функции должны быть согласованы с формой КЭ, числом и расположением степеней свободы в элементе. Число степеней свободы элемента должно соответствовать числу неопределенных параметров в полиномиальном представлении функции;
- представление функции в элементе должно быть инвариантным для ортогональных преобразований системы координат (геометрическая изотропия); кроме этого, полнота полиномиального представления функции вдоль любой границы или ребра элемента должна быть того же порядка, что и внутри элемента;
- полином, аппроксимирующий функции в элементе, должен быть полным как минимум до степени
, где 
- наивысший порядок производной, входящий в подынтегральное выражение; при наличии членов, соответствующих неполным полиномам высших порядков, предпочтение следует отдавать удержанию членов при более низких степенях.С учетом перечисленных требований в настоящее время предложен целый ряд различных способов построения базисных конечных элементов различных типов, форм и различных порядков распределения функций в элементах. Некоторые из таких способов рассмотрены в приведенных ниже разделах.
4.2. Построение базисных функций конечных элементов в обобщенных координатах
Наиболее естественным образом базисные функции элементов могут быть получены на основе решения системы алгебраических уравнений для значений выбранного степенного полинома в узлах элемента. Этот подход является достаточно общим, применим для любых типов элементов и законов распределения функций и носит название «базисные функции в обобщенных координатах» [5]. Основные этапы применения этого подхода удобнее продемонстрировать на примере построения функций формы четырехузлового прямоугольного элемента (см. рис.4.1).
Закон изменения функции u(x,y) в таком элементе может быть записан в виде степенного полинома
,или
, (4.1) 
{aT}=(a0a1a2a3)Далее составляется система алгебраических уравнений для значений функции
в узлах элемента 
, (4.2) 
, 
Рис. 4.1. Схема четырехузлового прямоугольного элемента
Неопределенные параметры
выражаются через узловые функции элемента 