Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информати (стр. 11 из 16)
Рассмотрим особенности применения кусочно-определенных базисных функций для аппроксимации решения дифференциальных уравнений в рамках МВН.
Пусть требуется определить некоторую функцию
в области V, удовлетворяющую следующей системе уравнений 
, 
.В соответствии с общей схемой МВН аппроксимация решения поставленной задачи может быть осуществлена на основе решения уравнений
или
.Рассмотрим условия, которым должны удовлетворять кусочно-определенные базисные функции приведенных выше уравнений в рамках МВН. Очевидно, эти условия должны обеспечить существование интегралов в исходных уравнениях, так как при кусочном задании базисных функций производные от таких функций могут претерпевать разрыв[1,3,4].
Согласно известным требованиям условия интегрируемости функции на сегменте
сводятся к условию ее ограниченности на рассматриваемом сегменте и наличию ограниченного числа точек разрыва. Иначе говоря, кусочно-непрерывная и ограниченная на данном сегменте функция, интегрируемая на этом сегменте.Применительно к рассматриваемой проблеме эти условия можно интерпретировать следующим образом: если операторы D или G содержат производные порядка “S”, то базисные функции должны обеспечивать кусочную дифференцируемость функции до порядка S-1.
Другими словами, базисные функции должны принадлежать классу гладкости
: функция принадлежит классу 
, если она и все ее производные до порядка r являются непрерывными.Например, в случае интерполяции допустимы разрывные функции, так как S=0.
Для рассмотренных выше уравнений теплопроводности и теории упругости S=2, поэтому базисные функции должны принадлежать классу С1.
Рассмотренные выше условия гладкости распространяются также на весовые функции Wn (эти функции не должны приводить к бесконечным значениям подынтегральных выражений в любых точках области V).
В связи с тем, что при кусочном задании базисных функций выполнение условий непрерывности сопряжено с определенными трудностями, особое значение приобретают слабая формулировка МВН и метод Галеркина выбора весовых функций, так как при этом понижается максимальный порядок производных функций в подынтегральных выражениях.
В качестве примера рассмотрим применение МКЭ для решения одномерной задачи теплопроводности.
,при краевых условиях
.Разделим отрезок
на М конечных элементов и построим аппроксимацию искомой функции в виде
, (3.7)где
- значение температуры в узле m.Уравнение МВН для этой задачи может быть представлено в виде
. ( 3.8)Краевые условия на границе области
не включены здесь в уравнение МВН, так как они могут быть учтены на уровне формирования разрешающей системы уравнений.В приведенном уравнении базисные функции должны принадлежать классу гладкости С1, то есть должны быть непрерывными и
и первая производная 
, поэтому линейная аппроксимация для функций 
здесь не годится.Для снижения требований гладкости можно преобразовать уравнение (3.8) к виду, соответствующему слабой формулировке МВН
(3.9)В такой форме уравнения МВН базовым функциям достаточно обеспечить условия гладкости С0 и, в случае применения метода Галеркина, для решения задачи можно использовать линейные функции формы для
и 
. Получаемая при этом система алгебраических уравнений будет иметь вид 
, (3.10) 
, 
.В свою очередь, при кусочном задании базовых функций
, (3.11)где
- вклад конечного элемента e в общую матрицу Knm.Нетрудно заметить, что ненулевой вклад
будут давать только те элементы, которые содержат узлы с номерами n и m. При использовании линейной интерполяции отличными от нуля функциями на элементе «е» будут Nm и Nm+1, причем 
.Для определения вклада
типового элемента введем локальную систему координат 
,где
и 
- глобальные координаты первого и второго узлов элемента «e», h – длина элемента. 
В локальной системе линейные функции формы элемента (локальные базовые функции) могут быть записаны в виде
. (3.12)При этом аппроксимация функции
в элементе может быть представлена 
,где
(i=1−2)- значение 
в i-ом узле элемента.Для типового КЭ, содержащего узлы m и n
, 
или
.Отсюда видно, что при вычислении
нет необходимости производить вычисления для всех КЭ, достаточно произвести их для одного элемента в локальной системе координат. Если 
- функции формы КЭ, i=(1,2) – номер локального узла элемента, то матрица [k]e будет иметь вид
Далее необходимо просуммировать вклад отдельных элементов
в общую матрицу 
.Рассмотрим процесс такого объединения для области, составленной из трех элементов (М=3) одинаковой длины h=1/3.
Для элемента e=1 ненулевой вклад в knm дают базовые функции с номерами n,m=1,2. В локальной системе этим номерам соответствуют
.Для элементов с номерами e=2,3 аналогичные вклады могут быть записаны в виде
, 
.Компоненты вектора {R} будут равны
