Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информати (стр. 10 из 16)
(2.37)
; 
, n,m =1,2... Mгде {
}-вектор, составленный из параметров 
, конкретная структура которого, согласованная со структурой матрицы [K] и вектора {R}, определяется из условия построения оптимального алгоритма решения системы (2.37).Представленная выше формулировка МВН может быть непосредственно получена на основе известного в теории упругости принципа возможной работы [2], согласно которому сумма работы, совершаемой внутренними и внешними силами в теле, находящемся в равновесии, при бесконечно малых виртуальных (не нарушающих кинематических граничных условий) перемещениях
равно нулю:
(2.38) 
В матричном виде уравнение (2.38) может быть записано в виде
(2.39)Представим аппроксимации перемещений
и 
в виде
; 
.В соответствии с обозначениями первой главы
; 
;Тогда уравнение (2.39) примет вид
для
(2.40)В силу произвольности параметров
из (2.40) следует уравнение (2.36), полученное на основе традиционной формулировки МВН
.3. Метод взвешенных невязок с кусочным определением базисных функций (метод конечных элементов)
3.1. Особенности задания базисных функций в методе конечных элементов (МКЭ)
В предыдущих главах предполагалось, что при аппроксимации функций
, базисные функции Nmопределены на всей области V и интегралы 
(3.1)вычислялись сразу для всей области V.
Рассмотрим другой возможный способ аппроксимации искомой функции f [1-3]. Для этого разделим область V на ряд непересекающихся подобластей
(конечных элементов e=1-E) и введем аппроксимацию функции f отдельно для каждой подобласти.Тогда при обеспечении необходимых условий гладкости таких функций вдоль границ
конечных элементов (КЭ):
; (3.2)
;при условии, что
, 
.Если подобласти имеют простую форму, а базисные функции определяются однотипно, то можно эффективно применять МВН для областей сложной формы. При этом все рассмотренные ранее процедуры МВН могут быть использованы для каждого отдельного конечного элемента.
Таким образом, в МКЭ базисные функции задаются на локальных носителях – конечных элементах.
В МКЭ наряду с КЭ вводятся узлы, расположенные на границах, а иногда и внутри КЭ.
Все узлы КЭ области упорядочены, каждый узел характеризуется номером и связями с конечными элементами, содержащими такой узел.
Базисные функции в узлах задаются следующим образом:
Nm=1 - в узле с номером m,
Nm=0 - в узлах n
m и на КЭ, не содержащих узел m. (3.3)Nm – отлична от нуля на КЭ, содержащих узел m.
С учетом этих особенностей стандартная аппроксимация функции в МКЭ может быть записана в виде
, (3.4)где
, а 
– значение функции в узле m. Иначе говоря, параметры 
приобретают в МКЭ конкретный физический смысл, а функция 
принимается равной нулю, так как граничное условие для f может быть легко удовлетворено в граничных узлах 
.В представлении (3.4) базисные функции Nm носят название “глобальных базисных функций”.
В свою очередь на каждом КЭ с индексом «е» глобальная аппроксимация (3.4) может быть выражена через значения функций
в узлах i-ого текущего КЭ и локальные базисные функции элемента 
(функции формы КЭ)
(3.5)где n – число узлов КЭ
Функции формы
определены на соответствующих КЭ «e» и принимают значения 
в узле i, 
в других узлах 
.Обычно в качестве базисных функций в МКЭ используются степенные полиномы.
Например, аппроксимация функции одной переменной
может быть представлена в виде полинома
, (3.6)где
– определяются из условия равенства функции в узлах 
узловым значениям функции .Подставив полученные значения
в уравнение (3.6) и сгруппировав слагаемые при 
можно получить аппроксимацию функции в виде (3.5): 
.Согласно такой интерпретации базисных функций в МКЭ аппроксимация (3.4) для линейных КЭ может быть представлена двояким образом.
Пусть требуется определить
при 
где
и 
− глобальные базисные функции в узлах 
и 
, соответственно.Эту же функцию можно представить через функцию формы КЭ
где
и 
- локальные базисные функции элемента «r».