«Геометрия на практике» (стр. 4 из 5)

Обычным, указываемым в курсах алгебры способом мы нашли бы

с точностью до 0,01 —также 3,61.

Задача № 8.

Найти угол по синусу.

Итак, мы имеем возможность вычислить синус любого угла от 0 до 90° с двумя десятичными знаками. Надобность в готовой таблице отпадает; для приближенных вычислений мы всегда можем сами составить ее, если пожелаем.

Но для решения тригонометрических задач нужно уметь выполнять и обратную операцию — вычислять углы по данному синусу. Это тоже несложно. Пусть требуется найти угол, синус которого равен 0,38. Так как данный синус меньше 0,5, то искомый угол меньше 30°. Но он больше 15°, потому что sin 15°, как мы знаем, равен 0,26. Чтобы найти этот угол, заключающийся в промежутке между 15° и 30°, поступаем, как объяснено выше.

0,38–0,26= 0,12.

=7,5^о

15^о+7,5^о=22,5^о

Итак, искомый угол приближенно равен 22,5°.

Другой пример: найти угол, синус которого равен 0,62:

0,62–0,50=0,12,

=8,6^о

30^о+8,6^о=38,6^о

Искомый угол приближенно равен 38,6°.

Наконец, третий пример: найти угол, синус которого равен 0,91.

Так как данный синус заключается между 0,71 и 1, то искомый угол лежит в промежутке между 45° и 90°. На рис. 3 ВС есть синус угла А. если ВА=1. Зная ВС, легко найти синус угла В:

АС²=1–ВС²=1–0,91²=1–0,83=0,17,

АС=

=0,42.

Теперь найдём величину угла В, синус которого равен 0,42; после этого легко будет найти угол А, равный 90^о – В. Так как 0,42 заключается между 0,26 и 0,5,то угол В лежит в промежутке между 15^о и 30^о . Он определяется так :

0,42–0,26=0,16,

=10^о

В=15^о+10^о=25^о.

Значит

А=90^о–25^о=65^о.

Теперь мы можем приближенно решать тригонометрические задачи, так как умеем находить синусы по углам и углы по синусам с точностью, достаточной для походных целей.

Задача № 9.

Определить ширину озера при помощи компаса.

Вычислить ширину АВ озера, если по компасу определено, что прямая СА уклоняется к западу на 21^о, а СВ– к востоку на 22^о, длинна СВ=68 м, СА=35 м.

Решение.

В треугольнике АВС нам известны угол 43^о и длины заключающих его сторон –

68 м и 35м. Проводим высоту AD; имеем: sin 43^о=

. Вычисляем, независимо от этого, sin 43^о и получаем: 0,68. Значит, =0,68, AD=0,68×35=24. Затем вычисляем CD: СD²=АС²–АD², СD²=35²–24², СD²=649, СD=25,5;

Теперь из треугольника АВD имеем:

АВ²=АD²+ВD²=24²+42,5²=3280;

АВ

49

Итак, искомая ширина озера – около 49 м.

Если бы в треугольнике АВС нужно было вычислить и другие два угла, то, найдя, что АВ == 49, поступаем далее так:

sin

B= , sin B= , sin B=0.49, отсюда В=29^о.

Третий угол А найдем, вычитая из 180° сумму углов 29° и 43°; он равен 108°.

Может случиться, что в рассматриваемом случае решения треугольника (по двум сторонам и углу между ними) данный угол не острый, а тупой. Если, например, в треугольнике АВС известны тупой угол А и две стороны, АВ и АС, то ход вычисления остальных его элементов таков. Опустив высоту BD, определяют ВD и АD из треугольника ВDА; затем, зная DА+АС, находят ВС и sin

С, вычислив отношение .

Задача № 10.

Треугольный участок.

Во время экскурсии мы измерили шагами стороны треугольного участка и нашли, что они равны 43, 60 и 54 шагам. Каковы углы этого треугольника?

В

43 54

А D С

60

Решение.

Это — наиболее сложный случай решения треугольника: по трем сторонам. Однако и с ним можно справиться не обращаясь к другим функциям, кроме синуса. Опустив высоту ВD на длиннейшую сторону АС, имеем:

BD²=43²–AD², BD²=54²–DC²,

откуда 43²–AD²=54²–DC², DC²–AD²=54²–43²=1070.

Но DС² – АD² = (DС + АD) (DС – АD) =60 (DС – АD).

Следовательно, 60 (DС–АD) =1070 и DС–АD =17,8.

Из двух уравнений DС–АD=17,8 и DС+АD=60

получаем: 2DC=77,8, т. е. DС =38,9.

Теперь легко вычислить высоту:

ВD=

=37,4,

откуда находим:

sin

A = = =0,87; А около 60^о

sin

C = = =0,69; С около 44^о

Третий угол

В = 180 — ( А + С) =76

Если бы мы в данном случае вычисляли при помощи таблиц, по всем правилам «настоящей» тригонометрии, то получили бы углы, выраженные в градусах и минутах. Но эти минуты были бы заведомо ошибочны, так как стороны, измеренные шагами, заключают погрешность не менее 2—3%. Значит, чтобы не обманывать самого себя, следовало бы полученные «точные» величины углов округлить по крайней мере до целых градусов. И тогда у нас получился бы тот же самый результат, к которому мы пришли, прибегнув к упрощенным приемам. Польза нашей «походной» тригонометрии выступает здесь очень наглядно.

Задача № 11.

Выпрямление окружности.

Для многих практических целей достаточно взять для π;

число З

и выпрямить окружность, отложив ее диаметр на какой-либо прямой З раза (деление отрезка на семь равных частей можно выполнить, как известно, вполне точно). Существуют и другие приближенные способы выпрямления окружности, применяемые на практике при ремесленных работах столярами, жестянщиками и т. п. Рассмотрим один способ выпрямления, дающий результат с чрезвычайно большой точностью.

Если нужно выпрямить окружность О радиуса r, то проводят диаметр АВ а в точке В–перпендикулярную к ней прямую СD. Из центра О под углом 30° к АВ проводят прямую ОС. Затем на прямой СD от точки С откладывают три радиуса данной окружности и соединяют полученную точку D с А: длина отрезка АD равна длине полуокружности. Если отрезок АD удлинить вдвое, то приближенно получится выпрямленная окружность О. Ошибка менее 0,0002r.На чем основано это построение?

Решение.

По теореме Пифагора

СВ²+ОВ²=ОС²

Обозначив радиус 0В через r и имея в виду, что СВ=

(как катет, лежащий против утла в 30^о), получаем:

СВ²+ r ²=4СВ²,

СВ=

.

Далее, в треугольнике АВD

ВD=СD–СВ=3r–

.

АD=

= = =3,14153r.