Методические рекомендации по проведению I (школьного) этапа всероссийской олимпиады школьников по математике Кукуев С. И., методист кафедры (стр. 2 из 3)
В то же время любой сколь угодно длинный текст решения, не содержащий полезных продвижений, должен быть оценен в 0 баллов.
6. Примеры заданий I (школьного) этапа всероссийской олимпиады школьников по математике.
5 класс
ЗАДАНИЯ
1. Расшифруйте запись:
к и с
+ к с и
и к с
Одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, а разным буквам – разные цифры.
2.Найдите значение выражения:
3. Мама купила яблоки для своих детей – Вани, Нины и Миши. Дети должны были поделить яблоки между собой поровну. Ваня пришел первым, сосчитал яблоки, взял третью часть и ушел. Потом пришла Нина и полагая, что она пришла первой, сосчитала оставшиеся яблоки, взяла третью часть этих яблок, и ушла. Наконец, пришел Миша и взял третью часть оставшихся яблок. После этого осталось 8 яблок. Сколько яблок купила мама для своих детей?
4. Фигура, изображенная на рисунке, состоит из 7 одинаковых квадратов. Ее периметр равен 32 см. Найдите площадь фигуры.
5. Из бочки, содержащей не менее 10 л. бензина, отлейте ровно 6 л., используя бидон вместимостью 5 л. и девятилитровое ведро.
6 класс
ЗАДАНИЯ
1. Вычислите:
2. Прямоугольник состоит из двух одинаковых квадратов, имеющих общую сторону. Его периметр равен 48 см. Найдите площадь прямоугольника.
3. Отец старше сына в 4 раза, при этом суммарный их возраст составляет 50 лет. Через сколько лет отец станет старше сына в 3 раза?
4. На школьной дискотеке Валентин, Николай, Владимир и Алексей, все из разных классов, танцевали с девочками, но каждый танцевал не со своей одноклассницей. Лена танцевала c Валентином, Аня- с одноклассником Наташи, Николай- с одноклассницей Владимира, а Владимир- с Олей. Кто с кем танцевал, и кто с кем учиться?
5. Арбуз весил 20 кг и содержал 99% воды, когда он немного усох, то стал содержать 98% воды. Сколько теперь весит арбуз?
7 класс
Задания
1. Решите уравнение
8 - 1,5 (3х + 2) =
(4 - 6х)2. Найдите все возможные цифры х, при которых число
делится на 3.3. Докажите, что произведение ( 22009 – 1) · ( 22009 + 1) кратно 3.
4. Можно ли из фигурок, изображенных на рисунке, сложить квадрат? Фигурки можно брать в неограниченном количестве.
5. Золотоискатель добыл 9 кг золотого песка. Сможет ли он за три взвешивания отмерить 2 кг песка с помощью чашечных весов с двумя гирями 200 г и 50 г?
ЗАДАНИЯ
8 класс
1. Найдите наименьший корень уравнения:
2. Постройте график функции
3. Докажите, что разность любого четырехзначного числа и четырехзначного числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.
4. 80% пути из школы домой ученик едет на троллейбусе, остальную часть идёт пешком и тратит на всю дорогу 18 минут. Однажды, из- за аварии, троллейбусы не ходили и ему пришлось идти домой пешком. Сколько минут он шёл, если известно, что скорость троллейбуса в 5 раз больше скорости ученика?
5. В треугольнике АВС биссектриса АМ равна отрезку МС. Найдите угол АВС, если сторона АС=2АВ
6. Десять монет лежат в ряд так, что сначала идут все настоящие весом 10 г (от 1 до 9 штук), а затем все фальшивые весом 9 г. За два взвешивания на чашечных веса без гирь требуется определить какие монеты фальшивые.
9 класс
ЗАДАНИЯ.
1. Не решая уравнение 2х2 – 3х – 9 = 0, найдите
+ 
, где х1, х2 - корни уравнения.2. Вычислите 8 p3 + d 6 при p = -10
, d = 4,5.3. Сравните
и 
4. Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей.
5. Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил ластик и пенал, заплатив 40 руб.; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 руб.; третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 руб.; четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый?
6. На доске записано линейное уравнение с четырьмя пропусками __Х + __ = __Х + __.
Двое учеников по очереди вставляют на место какого-нибудь пропуска одно из четырёх заданных различных чисел a,b,c и d. После этого уравнение решают. Если корень получается положительный, то выигрывает первый игрок, а если отрицательный, то выигрывает второй игрок. Кто из игроков победит при правильной игре независимо от действий соперника? В чём заключается его выигрышная стратегия?
10 класс
ЗАДАНИЯ
1. При каком р сумма квадратов корней уравнения х2 – 4х + р = 0 равна 16.
2. Решите неравенство:
∙ (2х2 – 72) < 03. Постройте график функции
у =
∙ (х2– 2 
- 3)4. Решите систему уравнений:
х2- 4ху + у2 = 3
у2- 3ху = 2
5. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Одно из оснований в 2 раза больше другого. Площадь одного треугольника, прилежащего к боковой стороне, равна 2. Найдите площадь трапеции.
6. Даны три действительных числа. Дробная часть произведения любых двух из них равна 1/2. Докажите, что числа иррациональны.
11 класс
ЗАДАНИЯ
1. Решите уравнение: (1-2
sin x 
sin x) 
= 02. Сравните: 3111 и 1714
3. Докажите, что число
+ 
- целое и найдите его.4. Из произвольной точки М, лежащей в нутрии данного острого угла с вершиной А, опущены перпендикуляры МР и МQ на стороны угла. Из точки А опущен перпендикуляр АК на отрезок РQ. Докажите, что
РАК = МАQ.5. Непараллельные стороны трапеции продолжены до пересечения и через полученную точку проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Найдите отрезок её, ограниченный продолжениями диагоналей, если основания равны а и b, при чем a > b.
7. Ожерелье состоит из 100 синих и некоторого количества красных бусин. Известно, что на любом отрезке ожерелья, содержащем 8 синих бусин, есть не менее 5 красных. Какое наименьшее количество красных бусин может быть в ожерелье?
7. Процедура разбора заданий
Разбор решений задач проводится учителем, ответственным за класс, сразу после окончания олимпиады.
Основная цель этой процедуры – объяснить участникам олимпиады основные идеи решения каждого из предложенных заданий, возможные способы выполнения заданий, а также продемонстрировать их применение на конкретном задании.
В процессе проведения разбора заданий участники олимпиады должны получить всю необходимую информацию для самостоятельной оценки правильности сданных на проверку решений, чтобы свести к минимуму вопросы к учителю по поводу объективности их оценки.
8. Порядок подведения итогов олимпиады
Победители и призеры школьного этапа олимпиады определяются по результатам решения участниками задач в каждой из параллелей (отдельно по 5,6,7,8, 9, 10 и 11 классам). Итоговый результат каждого участника подсчитывается как сумма полученных этим участником баллов за решение каждой задачи.