. Введем обозначения событий: деталь окажется бракованной; события деталь изготовлена соответственно первым, вторым или т (стр. 1 из 3)

Лекция 4

1.6 Формула полной вероятности. Формула Байеса

Теорема 1 (формула полной вероятности). Пусть события

образуют полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. Тогда вероятность любого события того же поля событий равна:

(1.17)

Доказательство. Так как события

образуют полную группу событий, то событие можно представить в виде: (это означает, что событие может произойти А только вместе с одним из событий ). Так как события несовместны то:

Пример 1. Детали поступают на конвейер с трех станков. Первый станок производит 25% всех деталей, второй 35% и третий 40% деталей. Первый станок выпускает 1% бракованных деталей, второй 3% , третий 5%. Определить вероятность того, что случайно выбранная с конвейера деталь окажется бракованной.

Решение. Введем обозначения событий:

- деталь окажется бракованной; события - деталь изготовлена соответственно первым, вторым или третьим производителем. По условию задачи:

, , ;

, , .

По формуле полной вероятности находим:

Теорема 2 (формула Байеса). Пусть событие

, которое могло произойти вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий, наступило. Тогда условная вероятность того, что осуществилась гипотеза равна:

(1.18)

Поскольку данная формула позволяет вычислить апостериорные вероятности по априорным, то ее также называют формулой переоценки гипотез.

Доказательство. По определению условной вероятности:

.

Пример 3. В условиях примера 1 определить вероятность того, что взятая деталь была изготовлена на первом станке, если она оказалась бракованной.

Решение. Требуется переоценить вероятность гипотезы

. По формуле Байеса имеем:

.

Вероятность стала меньше, поскольку если деталь оказалась бракованной, то более вероятно, что она произведена вторым, либо третьим станком.

Пример 4. В корзине находится один шар - с равной вероятностью белый или черный. В корзину опускается белый шар, и после перемешивания извлекается один шар. Он оказался белым. Какова вероятность, что в корзине остался белый шар.

Решение. Пусть гипотеза

- в корзине исходно находится белый шар, гипотеза - в корзине находится черный шар. Так как с равной вероятностью в корзине может находиться как белый, так и черный шар, то: . После того, как в корзину был опущен белый шар, вероятность вынуть белый шар (событие ) в предположении гипотезы есть: . Аналогично, вероятность вынуть белый шар в предположении гипотезы : . Следовательно по формуле полной вероятности:

.

Тогда вероятность, что в корзине остался белый шар (то есть верна гипотеза

):

.

Пример 5. Два стрелка стреляют по мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания для первого стрелка 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена только одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

Решение. Некоторая сложность в данной задаче состоит в том, что мы уже решали аналогичную прямую задачу, не привлекая при этом формулу полной вероятности.

Введем обозначения:

- попал в цель только один стрелок, первый стрелок попал в цель, -второй стрелок попал в цель. Тогда: . То есть, можно считать, что событие может наступить в результате осуществления двух гипотез: - попал в цель только первый стрелок, - попал в цель только второй стрелок. Имеем: , , , .

. .

1.7 Схема испытаний Бернулли.

1.7.1 Формула Бернулли

Часто встречаются задачи, в которых одно и то же испытание повторяется многократно. В результате каждого испытания может появиться или не появиться некоторое событие

. Нас будет интересовать число наступлений события в серии из испытаний.

Определение 1. Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода – появление события

(“успех”) или не появление его (“неудача”), при этом “успех” в каждом испытании происходит с вероятностью , а неудача с вероятностью .

Теорема (формула Бернулли). Вероятность того, что в

испытаниях по схеме Бернулли “успех” наступит ровно раз:

(1.19)

Доказательство.

Все

испытаний можно рассматривать как одно сложное испытание, имеющее возможных исходов. (Например, при возможные исходы такого сложного испытания – ).

1) Число благоприятных исходов равно числу способов, которыми можно расположить

успехов на различных местах, то есть равно .