. Введем обозначения событий: деталь окажется бракованной; события деталь изготовлена соответственно первым, вторым или т (стр. 2 из 3)
2) Вероятность каждого отдельного исхода можно подсчитать по формуле произведения вероятностей независимых событий. Например, вероятность появления комбинации:
равна 
. Очевидно, что вероятности остальных комбинаций равны также 
.Поскольку все исходы являются несовместными событиями, то вероятность, что событие
в 
испытаниях появится ровно 
раз: 
.Определение 2. Числа
называются биномиальными вероятностями.Пример 1. Для контроля качества из партии деталей отбирается 5 деталей. Партия бракуется, если в выборке хотя бы две бракованные детали. Найти вероятность того, что партия будет забракована, если каждая деталь может оказаться бракованной с вероятностью 0,01.
Решение. Найдем вероятность того, что в выборке из 5 деталей будет не более одной бракованной детали:
.Тогда вероятность того, что партия будет забракована:
.Если каждое испытание имеет
исходов, вероятности которых 
, 
, то вероятность того, что в испытаниях первый исход появится 
раз, второй исход появится 
раз и т.д. определится по формуле: 
. (1.20)Доказательство формулы аналогично случаю двух исходов.
1.7.2 Наивероятнейшее число успехов.
Определение 3. Число успехов
, которому соответствует наибольшая вероятность в испытаниях по схеме Бернулли, называется наивероятнейшим числом успехов.Для нахождения
исследуем поведение биномиальных вероятностей 
с ростом . Найдем отношение: 
будет больше 
, если их отношение будет больше единицы, то есть когда 
. Таким образом, с ростом последовательность вероятностей 
будет возрастать до тех пор, пока 
. Kак только станет больше, чем 
последовательность начнет убывать. Если существует такое, что 
, то в этом случае существуют два значения случайной величины обладающие наибольшей вероятностью 
и 
, так как при этом 
. Если нет такого значения , то значением, обладающим наибольшей вероятностью, будет последнее значение, для которого 
, то есть в этом случае наивероятнейшее число успехов 
. Наивероятнейшее число успехов может совпасть с первым значением 
, либо с последним 
, соответственно последовательность будет либо убывающей, либо возрастающей.1.7.3 Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа. Формула Пуассона.
При больших значениях
и вычисление вероятностей по формуле Бернулли (1.19) представляет значительные трудности. В этих случаях для подсчета биномиальных вероятностей используют приближенные формулы.1. Локальная формула Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в
испытаниях по схеме Бернулли “успех” наступит ровно 
раз при 
приближенно равна: 
, где 
, 
(1.21)2. Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в
испытаниях по схеме Бернулли “успех” наступит не менее раз и не более 
раз, при 
приближенно равна: 
, (1.22)где
- функция Лапласа, 
, 
.Функция Лапласа является табулированной функцией. При использовании таблиц следует учитывать, что
, 
.Пример 2. Монета подбрасывается 1000 раз. Найти вероятность того, что орел появится не менее 480 раз и не более 520 раз.
Решение. По условию 
, 
, 
, 
, 
. Воспользуемся интегральной формулой Муавра-Лапласа. Вычислим 
и 
:
, 
.
По таблице функции Лапласа находим 
и, учитывая нечетность функции Лапласа, находим искомую вероятность:
.Если вероятность успеха в одном испытании мала (
), лучше вместо формулы (1.21) использовать приближенную формулу Пуассона, дающую в этом случае меньшую погрешность.3. Формула Пуассона. Вероятность того, что в
испытаниях по схеме Бернулли “успех” наступит ровно раз при и приближенно равна: