В х строительной механики (стр. 6 из 8)
На рис. 11 приведены осциллограммы линейной составляющей параметров реакции, действующих вдоль оси х: перемещений (а), скоростей (б), восстанавливающих (в) и диссипативных (г) сил для значения j3 =3.142 рад.
В пятой главе «Приложение интеграла Дюамеля к вопросам взаимности» изложен общий метод доказательства теорем взаимности в произвольных упругих ДДС, расширена трактовка этих теорем и оговорены условия, обеспечивающие свойства взаимности в диссипативных системах.
Внешняя нагрузка представлена в виде вектора
где f(t) - безразмерная скалярная функция времени t; P0 = [р0j] (j= 1,…, n) - вектор постоянных усилий. На основе (18) введен вектор импульсов сил
Доказательство соотношений взаимности в ДДС базируется на двух положениях. Одно - связано с формой записи систем разрешающих уравнений (14), в которых величины Y0, Ý0 для удобства приняты нулевыми. Показано, что эти системы обладают симметричной структурой:
Осуществлен переход (путем обращения матриц D(t) и V(t) к матрицам динамической жесткости L(t) и импульсов H(t) также симметричного вида):
Эти результаты можно считать расширением известных результатов (теорема Максвелла о взаимности перемещений: D(t) = D(t)T и теоремы Рэлея о взаимности реакций: L(t) = L(t)T и импульсов: H(t) = H(t)T для случая нестационарного процесса, протекающего в ДДС. Соотношение V(t) = V(t)T, по своей сути, есть теорема о взаимности скоростей масс от действия единичных импульсов, прикладываемых к узлам ДДС. В литературных источниках данный закон не выявлен, хотя не исключено, что для частных случаев задачи он известен.
Второе положение относится к алгебраической трактовке принципа взаимности, впервые данной в 1927 г. проф. П.Л. Пастернаком. Согласно этому положению. свойство взаимности присуще любой системе n линейных уравнений с n неизвестными, обладающей симметричной структурой коэффициентов.
На основании изложенного получены соотношения взаимности:
выражающие теорему взаимности Бетти в форме произведения перемещений и сил (первое соотношение) и в форме произведения скоростей и импульсов сил (второе соотношение) в произвольной упругой ДДС. Векторы P(t)’, Y(t)’, Ý(t)’ и
Z(t)’ представляют новые системы соответственно сил, перемещений, скоростей и импульсов в исходной ДДС
Соотношения (19) выполняются для любой системы сил, определяемой вектором нагрузки (18), и являются обобщением результатов Рэлея, доказавшим первый закон взаимности в (19) со всеми его следствиями в ДДС для частного случая системы сил, гармонически изменяющейся во времени (то есть при условии f(t) = sin(qt + j)). Второй закон в (19) и его частный случай H(t) = H(t)T, были доказаны Рэлеем для консервативной системы, находящейся под действием мгновенных импульсов.
Результаты обобщены в виде теоремы о предпосылках закона взаимности в произвольной упругой ДДС: Пусть характер воздействия динамической нагрузки в узлах ДДС определяется вектором (18). Тогда, если матрицы М, С, К дифференциального оператора уравнения движения (7) обладают симметрией, то: (а) полная система уравнений динамической реакции (14) также имеет симметричную структуру; (б) к данной упругой системе применимы законы взаимности как в форме общих (19), так и частных теорем.
Показано, что динамическая реакция Y(t) = D(t)P(t) выражается через её статическую составляющую Yст = K-1 P0 посредством матричной функции
характеризующей учет динамического эффекта в произвольной конечномерной системе при нестационарных воздействиях, вследствие чего Y(t) = b(t)Yст
Для матриц b(t), D(t), L(t), V(t), H(t) приведены конечные формулы для случая действия внезапно приложенной нагрузки.
Последующие главы диссертации, с шестой по восьмую, посвящены упругопластическому анализу ДДС при действии кратковременной нагрузки.
В шестой главе «Теоремы состояний и анализ внутренних динамических параметров системы» предложены математические модели упругопластического расчета и доказаны теоремы, характеризующие качественные уровни состояний конструкции в процессе ее неупругого деформирования.
В основу математических моделей расчета положены физические соотношения, отвечающие закону идеально упругопластического поведения материала (рис. 12). В соответствии с теорией промежуточных состояний неупругий анализ представлен рядом последовательно изменяющихся в процессе реакции системы квазиупругих решений, определяемых интервалами
t Î [ti, ti+1] (I = 0, 1,…), на которых динамические параметры системы неизменны. Время ti соответствует открытию или закрытию шарниров пластичности. Это позволило обобщить временной анализ ДДС на случай движения конструкции с неупругой восстанавливающей силой, используя для этой цели метод временного анализа, разработанный для упругой системы.Условия динамического равновесия ДДС с идеально упругопластическими восстанавливающими силами (вектор R(t), см. рис. 12) представлены в виде
Математические модели расчета включают в себя физические соотношения
и комплекс условий: упругости, текучести в j-м элементе конструкции при t = tm и разгрузки в том же элементе при t = ti (ti> tm):
Здесь K(ti)Y(t) - квазиупругая составляющая вектора (21); K(ti), K(j) - матрицы жесткости квазиупругой системы и j-го элемента конструкции. Составляющие вектора (21): R0(ti) - вектор предельных значений и R*(ti) - вектор остаточных усилий определяются в упругопластических пружинах при текучести и разгрузке соответственно; Y*(ti) - вектор остаточных перемещений ДДС, значения которого вызваны пластическими деформациями в j-м элементе конструкции.
Упругие колебания происходят при условии, когда вдоль всех степеней свободы ДДС значения относительных перемещений
не превышают их предельно упругих значений y0j (j = 1,…,n) 
Сформулирована задача неупругого анализа ДДС, в узлах которой действует нагрузка P(t) = [pj(t)] (j = 1,…,n) (рис. 13). Для вычисления динамической реакции системы на любом i-м интервале времени t Î [ti, ti+1] необходимо удовлетворить уравнению движения (20) физическими соотношениями (21) так, чтобы выполнялись условия упругости, текучести и разгрузки (22).
Далее проведен анализ собственных колебаний квазиупругой системы на интервале t Î [ti, ti+1], требующий рассмотрения характеристического МКУ (8) и соотношений Виета в (13) при K = K(ti), где Sk и Sl, из обшей корневой пары (9).
Рост текучести (t³t1) вызывает снижение коэффициентов жесткости ДДС и, вследствие этого, изменение внутренних динамических параметров. Этот факт отражен пятью теоремами состояний, устанавливающими критерии соответствия между определителями матриц в равенстве (13): SkT MSl = K(ti)(k¹l).
Теорема 6.1 (об условии невырожденного состояния квазиупругой системы). Матрица жесткости К(ti,) квазиупругой системы (i³ 0) невырожденна тогда и только тогда, когда невырожденны обе матрицы внутренних динамических параметров в корневой паре (9) характеристического МКУ, т. е
Теорема 6.2 (об условии вырожденного состояния квазиупругой системы). Пусть ДДС обладает полной диссипацией. Матрица жесткости К(ti) квазиупругой системы (i> 0) вырожденна на интервале t Î [ti, tm],тогда и только тогда, когда одна из матриц Sk в (9) вырожденна, а другая - нет, т. е.
Если пластические шарниры образуются во всех опасных сечениях конструкции (при t = tq Î [ti, tm]), то K(tq) = 0. Такое деформированное состояние квазиупругой системы названо предельно вырожденным состоянием (ПВС).
Показано, что в процессе пластического деформирования частотно-демпфированный спектр системы становится подвижным. Характер кривых собственных частот неупругой конструкции показан на графиках, отвечающих условиям теоремы 6.1 (на всем интервале реагирования (рис. 14)), теорем 6.2, 6.3 (на интервале t Î [tq, tq+1] (рис. 15)) и теорем 6.4, 6.5 (при t Î [tq, tq+1] (рис. 16))