Методические замечания: из опыта работы 10 Вероятностный граф наглядное средство теории вероятностей 13 Модуль «Энтропия и информация» метапредметность школьного курса Теория вероятностей 19 (стр. 4 из 9)

Графом называется два множества с отношением инцидентности между их элементами, называемыми вершинами и ребрами. Любое ребро связано не более чем с двумя вершинами. [2, с.26]

Деревом называется связный граф без циклов. Очень важное понятие для подхода изложения теории вероятностей. При помощи дерева удобно изображать исходы того или иного испытания. [2, с.27]

Граф называется вероятностным, если рядом с каждым его ребром записать соответствующую вероятность. [2, с.29]

Вероятность события вычисляется путем сложения вероятностей благоприятного исхода, которую в свою очередь определяем произведением вероятностей каждого ребра, соответствующего этому благоприятному событию.

Если вернуться к анализу имеющихся учебных пособий, то в учебнике Дорофеева, учебных пособиях, Мордковича вводится понятие «дерево исходов», «дерево возможных вариантов». В учебном пособии Ткачевой и Федоровой вводится понятие графа для подсчета вариантов. Но при изучении тем «Случайные события» и «Случайные величины» возможности эффективного инструмента - вероятностного графа - для решения соответствующего круга задач даже не предполагается, что опять ложится в основу профессиональной инициативы учителя.

Задача 1. Пусть два брата считают до числа, которое оказалось суммой «выброшенных» пальцев одной руки каждого. Тот, на котором остановился счет, выходит, а оставшийся убирает квартиру. Играет ли роль, с кого начинать счет?

Рассмотрим решение задачи двумя способами.

1 способ – комбинаторный.

Очевидно, что выбор таким образом дежурного является случайным. Обратим внимание на то, что первый, с кого начинается счет, не убирает квартиру, если сумма «выброшенных» пальцев окажется нечетной, а второй – если четной.

I игрок:

3 = 1+2 = 2+1

5 = 1+4 = 4+1 = 2+3 = 3+2

7 = 2+5 = 5+2 = 3+4 = 4+3

9 = 4+5 = 5+4

II игрок: 2= 1+1

4 = 1+3 = 3+1 = 2+2

6 = 1+5 = 5+1 = 2+4 = 4+2 =3+3

8 = 3+5 = 5+3 = 4 +4

10 =5+5

Для первого игрока получили 12 благоприятных ему исходов, а для второго 13, следовательно, при игре в «считалки» предпочтительней стоять вторым.

2 способ. Составим вероятностное дерево исходов:

Р₂ > Р₁ и, следовательно, при игре в «считалки» выгодней стоять вторым. В последнем решении использованы интерпретации на графах теорем сложения и умножения вероятностей:

P (A+B) = P (A) + P (B) и в частности

P (A+B) =P (A) + P (B), если A и B – несовместные события

P (A

B) = P (A) P (B), если A и B – независимые события.

Рассмотрим двумя способами решение одной из классических задач теории вероятностей – задачи Гюйгенса.

Задача Гюйгенса: В урне 2 белых и 4 черных шара. Один азартный человек держит пари с другим, что среди вынутых 3 шаров будет ровно 1 белый. В каком отношении находятся шансы спорящих.

Решение:

1 способ. Традиционное решение - комбинаторное:

Испытание Ω = {вынимание шаров}, событие А, благоприятствующее одному из спорящих: А ={достать ровно один белый шар}.

Учитывая, что порядок вынимаемых трех шаров не важен, то

Один белый шар можно достать в

случаев, а 2 черных - . По основному правилу комбинаторики . Отсюда , а по свойству вероятности P( )=1-P(A)= . Cледовательно, P(A): P( )=3:2

Ответ: шансы спорящих находятся как 3:2, т.е. скорее так и будет: среди 3 вынутых шаров будет ровно 1 белый.

2 способ. Использование вероятностного графа.

Возможность решения задач по теории вероятностей с помощью графов появляется уже в 6 классе, в процессе изучения темы «Обыкновенные дроби. Арифметические действия с обыкновенными дробями». Значит, к этому моменту можно ввести понятие случайных, достоверных и недостоверных событий, показать простейшие задачи, решаемые с помощью вероятностного графа.

1. Какова вероятность выпадения тройки при однократном бросании кубика?

2. Какова вероятность выбора красного шара из урны с 3 белыми шарами и 5 красными?

Практика показывает, что трудностей на данном этапе у учащихся не возникает. Иллюстрация с помощью графа делает данный процесс творческим и наглядным. При этом формируется практический навык анализа происходящего, сравнение и выбор. Причем, графический метод не требует знания формул комбинаторики и способствует развитию аналитических навыков:

3.

Какова вероятность выбора одного красного шара среди трех выбранных шаров из урны в предыдущей задаче?

Решение: