Г. П. Прокопов Оприближенных реализациях (стр. 7 из 8)

6.3. В связи с обсуждаемым вопросом уместно процитировать также стр.12 работы [16]: «При расчетах сильных изэнтропических волн разрежения по моей [С.К.Годунова] схеме наблюдается значительный рост энтропии, который постоянно служил источником неприязни к результатам разностных расчетов. Существенное снижение этого эффекта было замечено только, когда приступили к расчету двумерных задач… Двумерные программы, использующие эйлеровы координаты, приводят к существенно меньшему «паразитическому» повышению энтропии в волнах разрежения. Причина этого явления состоит в том, что лагранжевы координаты (даже в простейшем одномерном случае) непригодны для формулировки понятия «обобщенные решения» уравнений гидродинамики. Эти уравнения допускают при некоторых начальных данных появление полостей, не заполненных средой, - зон вакуума, которые в лагранжевых координатах изображаются наличием у решения особенностей типа дельта-функции. Такие особенности у обобщенных решений обычно не предусматриваются и при разностной аппроксимации очень плохо моделируются…»

6.4. Отметим, что в настоящей работе, как и в [1], обращается внимание на необходимость контроля энтропии с тем, чтобы не допустить неоправданного ее занижения в газодинамических расчетах. В некотором смысле это противоречит «борьбе» за минимизацию энтропийных эффектов, порождаемых разностной схемой. На первый план выдвигаются интересы гарантированного получения физически реализуемых течений.

§ 7. О сравнении результатов.

7.1. В воспоминаниях [16] на стр.11-12 описывается, как «потребители вычислительной продукции – физики и инженеры – привыкли к идеальному внешнему виду получаемой информации, и это было поводом к неудовольствию, которое они стали испытывать к первым результатам расчетов по разностным схемам. Как это теперь хорошо всем известно, разностные расчеты разрывных решений уравнений газовой динамики изобилуют большим числом проявлений именно «разностной» микроструктуры, которые выглядят как погрешности, искажающие картину течения. При сравнении машинных выдач с «прилизанными» графиками из «ручных» расчетов эти разностные эффекты вызывали у потребителей неприятные впечатления, приводили к утверждениям, что в программе грубые ошибки или расчет выполнен по ошибочным исходным данным…»

А вот в [2]-[3] специально подчеркивается, что схема С не имеет осцилляций на разрывах при произвольных физических состояниях газа в соседних ячейках сетки, если назначать массовые скорости по формулам (2.1). Такая позиция их автора создает впечатление, что стремление к «прилизанным» графикам превалирует над получением пусть и визуально «неприятных», но, возможно, более точных и, главное, физически реализуемых результатов.

7.2. В качестве одного из существенных доказательных аргументов в [2]-[3] приводится сравнение результатов расчетов специальных тестовых задач с расчетами по методу Годунова. При этом демонстрируется весьма хорошее их совпадение, по крайней мере, на визуальном уровне.

Следует однако отметить, что сравнение производится для профилей величин по пространственной координате при некотором случайно или специально выбранном, достаточно далеком моменте времени. Поскольку речь идет о нестационарной задаче, такого сравнения безусловно недостаточно для надежных выводов о качестве вычислительного алгоритма.

С этой точки зрения наиболее «ответственными» являются, например, как раз моменты прихода ударных волн или волн разрежения на объект, формирование процесса их отражения и т.п. А предельные режимы установления могут получаться правильными даже, если процесс их установления не отвечает реальному физическому процессу. (В качестве аналогии можно привести примеры по «искусственному» ускорению сходимости итерационных процессов для других уравнений математической физики). Когда запросы практики требуют точности результатов, исчисляемой процентами и даже меньше, это приобретает особое значение.

7.3. При проводившихся сравнениях результаты расчетов по методу Годунова принимались за эталонные. Между тем, как уже отмечалось в § 3, например, для теста 2 график профиля внутренней энергии весьма существенно отличается от аналитического решения. Какой же это эталон?

Для схемы С и метода Годунова демонстрируются весьма близкие результаты (как для профиля внутренней энергии, так и для остальных величин – давления, плотности и скорости). Чем это можно объяснить?

Осмысливая эту ситуацию, отметим следующее. Судя по списку цитируемой литературы в [2], под методом Годунова подразумевается первая публикация [4]. В ней использовался итерационный процесс, основанный на двух массовых скоростях (изменявшихся в ходе итерационного процесса). Скорость его сходимости оценивается геометрической прогрессией. В рассматриваемом случае теста 2 с сильными волнами разрежения знаменатель такой прогрессии очень близок к 1. Если число итераций было небольшим (у автора создалось впечатление, что их число было равным 3), то фактически и схема С и то, что названо методом Годунова, были весьма близки по своей реализации. Это, как можно предполагать, и обеспечило близость тех результатов, о которых шла речь выше.

7.4. Заметим, что сам метод Годунова развивался и совершенствовался. В статье [17] было описано непосредственное развитие схемы [4] для численного решения двумерных нестационарных газодинамических задач и методом установления было рассчитано обтекание сферы сверхзвуковым потоком с образованием головной ударной волны. При этом для расчета распада разрыва использовался приближенный метод («звуковое приближение») и упрощенная схема течения – та самая, которая описана выше в § 1, а массовые скорости задавались формулами

Но это было почти пятьдесят лет назад. В дальнейшем, в упоминавшейся уже монографии [5], появилось изложение другого итерационного процесса для точного расчета распада разрыва. Он основан на решении уравнения для давления Р методом Ньютона, имеющем квадратичную скорость сходимости, и использовании «настоящей» схемы течения, возникающего при распаде разрыва. Более подробно это описано в [1]. Конечно, были и другие работы, посвященные непосредственно обсуждаемому кругу вопросов. Как уже упоминалось, обзор таких работ можно найти, в частности, в монографиях [5] и [9].

Заключение

По признанию многих авторов метод С.К.Годунова [4]-[5] стал одним из популярных для численного решения газодинамических задач. «Массовой операцией» при его реализации является решение задач Римана о распаде разрыва. Точное решение таких задач требует значительного объема вычислительной работы. Естественно поэтому стремление ряда авторов уменьшить эти затраты. Поскольку наиболее «трудоемкая» часть связана с адиабатой Пуассона (что эквивалентно энтропии), у части авторов проявляется тенденция к ее исключению из алгоритмов. Это, в свою очередь, влечет за собой привлечение в алгоритмы таких конструкций, на которых энтропия может убывать. На примере одной из схем, опубликованной в [2]-[3], такая ситуация изучалась в [1] и в настоящей работе.

Описан один из возможных безитерационных алгоритмов для приближенного расчета распада разрыва, позволяющий избежать упомянутой опасности убывания энтропии. При практических расчетах газодинамических течений в подавляющем большинстве случаев параметры в соседних ячейках отличаются мало, удовлетворяя критерию (4.4). Заметим, что это может достигаться не только за счет гладкости течений, но при достаточно большом числе ячеек расчетной сетки и «благодаря размазыванию» разрывов при сквозном счете. В этой ситуации для вычисления давления Р достаточно обходиться «звуковым приближением».

Вопрос о том, можно ли при этом использовать «звуковые» формулы и для остальных расчетных величин, допуская возможность, хоть и незначительного, но все же убывания энтропии, является, по меньшей мере, дискуссионным. Не может ли систематическое «отравление» (пусть и в незначительных «дозах») убыванием энтропии приводить к нежелательным последствиям? В [1] на стр.15 такая ситуация характеризовалась пословицей: «ложка дегтя может испортить бочку меда».

Заметим, что путь, как этого избежать, известен. Что касается вычислительной «стоимости» его реализации, то автор считает целесообразным отметить любопытный нюанс. Формулы метода Годунова были разработаны в 50-х годах для ЭВМ «Стрела» с быстродействием 2000 операций в секунду. А в наш век неизмеримо выросшего быстродействия вычислительных машин и многопроцессорных комплексов столь важна стала «сверхэкономичность»? Стоит ли рисковать потерять главное – физическую достоверность результатов? Не забудем, что наш классик А.С.Пушкин одну из своих известных сказок закончил словами: «Не гонялся б ты, поп, за дешевизной!»

В заключение автор считает нужным подчеркнуть еще раз дискуссионный характер обсуждаемого вопроса. Отмечается лишь тревога по поводу использования в схеме С вспомогательной конструкции, которая может терять физическую реальность.

Схема С обладает достоинствами, связанными и с существенным сокращением объема вычислений и с упрощением возможностей ее обобщения на случай сложных уравнений состояния.

Конечно же, найдутся задачи, в которых все «обойдется» благополучно и для простейшего алгоритма. Но они не могут служить доказательством, что так можно считать всегда.

В свою очередь, тревога автора не может считаться обоснованной, пока не будут предъявлены конкретные примеры расчета течений с убыванием энтропии. Их можно пытаться либо конструировать искусственно, либо искать в практических расчетах. Предложение поиска таких примеров – одна из целей настоящей публикации.