Г. П. Прокопов Оприближенных реализациях (стр. 6 из 8)

В первую очередь естественно проверять возможности, требующие меньшего объема вычислений. Самым «трудоемким» является получение величин в случае попадания внутрь сектора, занимаемого волной разрежения (см. [5], стр.120 или [9], стр.171).

Заметим, что «протяженность» сектора, охватываемого левой волной разрежения, определяется формулой:

Аналогично, для правой волны разрежения:

Если эти величины малы, можно внутрь такого сектора и не «влезать», а ограничиться формулами типа линейной интерполяции.

Однако в случае сильных волн разрежения выбор соответствующего луча становится существенным. Об этом свидетельствует и опыт расчетов и необходимость довольно громоздкой меры для обеспечения сходимости итерационного процесса, описанной в [4] (см. также [5], стр.110).

5.4. Достоинством описанного приближенного алгоритма является то, что он во всех случаях качественно правильно описывает возникающие конкретные конфигурации распада разрыва. Учитывая, что использоваться будет лишь небольшая часть информации в виде «больших» величин на одном луче, на основе которых будут вычисляться газодинамические потоки, можно надеяться, что и количественно его результаты вполне приемлемы.

5.5. В [1] на стр.18 отмечалась особая роль точного расчета распада разрыва как универсального инструмента для расчета движения границ физических областей, например, разделяющих области с совершенно разными парамет-рами. По нашему мнению, и описанный приближенный безитерационный метод, как правило, вполне может претендовать на такую роль.

5.6. Для успешного исполнения этой роли, а также для практической возможности использования описанного метода не только для уравнения состояния (1.1), но и для более сложных случаев, требуется его модификация. В § 8 работы [1] рассматривались некоторые из возникающих при этом проблем.

Рассмотрим важный для практики расчетов случай, когда газодинамические параметры с индексами 1 и 2 удовлетворяют двучленным уравнениям состояния со своими параметрами:

(k=1,2)

Это отражается в формулах для скорости звука и энтропии:

,

Соответственно должны быть изменены формулы (1.9)-(1.11) и формулы (4.1), (4.4). Например, последняя должна быть заменена на следующую:

,

В основном уравнении (4.7)-(4.8) должна быть сделана замена

на ; должны заменить c. Это приводит к столь многочисленным и громоздким изменениям в формулах § 4 и § 5, что мы ограничимся только наиболее важными расчетными формулами.

Прежде всего это касается формул (4.9) для «опорных» точек, которые должны быть заменены на следующие:

Что касается последней из формул (4.9), то в ней Р=0 должно быть заменено на

. Поскольку вакуума достигает первой либо левая (если ), либо правая среда (если ), формула для F₀принимает следующий вид:

Применение формулы (4.10), как уже отмечалось в разделе 4.6, в случае

, становится невозможным, и ее придется заменить приближенной.

Поскольку

, такая приближенная формула (4.13) должна быть заменена на аналогичную (4.11):

Усложняется уравнение параболы (4.14), в котором добавляется еще одно слагаемое

.

Соответственно изменяется и формула (4.15):

В разделе 4.9 основное «рабочее» уравнение (4.19) должно быть заменено на следующее:

Поэтому изменения в расчетных формулах таковы.

Формулы (4.18) заменяются на

, ,

а в формуле (4.22) слагаемое

заменяем на

.

Корректируются также формулы (5.1) и (5.2):

,

Подчеркнем, что перечислены изменения не всех, а только расчетных формул алгоритма для случая

.

5.7. В случае сложных уравнений состояния (не двучленного вида) на практике для решения задачи о распаде разрыва широко используется прием замены их локальной аппроксимацией соответствующими двучленными уравнениями состояния (своими для каждой из зон 1 или 2). Именно поэтому такой случай стал предметом специального рассмотрения в предыдущем разделе.

Однако, как отмечалось в [1] на стр.25, такой прием не является универсальным. Возможность расчета распада разрыва для сложных уравнений состояния рассматривались, например, в [12] и в [9] на с.175-176.

Наконец, уместно упомянуть о достаточно универсальном подходе к решению задачи о распаде разрыва в случае сколь угодно сложных уравнений состояния, изложенном в небольшой монографии [13]. Рассмотрение упомянутых работ выходит за рамки настоящей.

§ 6. Снова об энтропии.

6.1. Вопрос об энтропийных эффектах и «энтропийных следах», появляющихся в численных расчетах газодинамических задач, издавна был одним из дискуссионных. В качестве примера можно привести цитату из [14]: «По нашему мнению, для расчета адиабатических течений могут применяться лишь такие разностные схемы, в которых изменение энтропии из-за погрешностей аппроксимации уравнений при малых значениях

(приращение удельного объема ) хотя бы не превосходит физического изменения энтропии на слабых ударных волнах».

Как известно (см., напр., [15]), на слабых ударных волнах приращение энтропии

пропорционально кубу приращения удельного объема: .

В [14] рассматривались разностные схемы для уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа в адиабатическом приближении, т.е. при отсутствии вязкости, тепловых потоков и источников энергии. Проведенные в ней исследования показали, что такие разностные схемы, в которых вычислительные источники производства энтропии при расчете гладких течений по порядку величины не превосходят физических источников, существуют. В этих схемах погрешности аппроксимации суть величины порядка

( - шаг по временной координате).

6.2. Схема С.К.Годунова и в случае лагранжевых, и в случае эйлеровых переменных таковой не является, поскольку для нее погрешность аппроксимации имеет порядок

. Именно поэтому и возникает желание порядок аппроксимации повысить. Эту цель ставят перед собой некоторые из авторов, предлагающих схемы «типа Годунова». Поскольку при этом обычно используется задача о распаде разрыва, естественно, чтобы она давала решение, для которого «вычислительный шум», не превосходит создаваемый реальными физическими процессами, например, слабыми ударными волнами.

Точный расчет распада разрыва такими свойствами обладает. Это уже неоднократно отмечалось, и мы не будем на этом останавливаться.

Что касается описанного приближенного расчета распада разрыва, то приращение энтропии

имеет не третий, а второй порядок (см. выше раздел 4.3). Этого вполне достаточно для схемы первого порядка, каковой является метод Годунова, но может оказаться недостаточным, если речь пойдет о достижении более высокого порядка аппроксимации при расчете гладких течений.