Автор Рыбаков Д. А (стр. 1 из 5)

Традиционная геометрия и тополигия далеко не полно описывают природные формы. Природа демонстрирует совершенно иной уровень сложности форм, отличный от прямых линий, эллипсов и других известных форм. Естественные формы зачастую оказываются неправильными, сильно фрагментированными и имеют фрактальную структуру. Исторически получилось так, что многие математики откладывали в сторону трудные формы, которые портили красоту их выкладок. В результате созданные ими идеализированные объекты весьмы редко встречаются в природе в чистом виде. В природе нет прямых линий, идеальных окружностей, плоскостей и тд.. Всевозможные возмущения, которыми пренебрегают, постоянно вносят свой вклад и портят иллюзию простоты.

К примеру, если взять кромку деревянной линейки, то она традиционно описывается с помощью отрезка прямой линии. Но современные данные говорят о том, что эта кромка далеко не идеально ровная, - в мелком масштабе существуют различные впадины и выступы. Погружаясь дальше можно обнаружить древесные волокна, которые состоят из еще более мелких волокон и пор. В более мелком масштабе все это состоит из молекул и атомов, которые постоянно вибрируют и меняются местами.

Несмотря на эти неровности, математическая идеализация кромки линейки с помощью отрезка является наиболее подходящей. Но такие прямые объекты - большая редкость в природе. Что делать с такими формами, которые принимают облака, клубы дыма, рельеф гор, русла рек, морские побережья, молнии, пути броуновского движения, диффузионные фронты, галактические скопления, волны в океане, перколяционные кластеры, синергетические структуры и тд и тп? В этих объектах почти нет никаких классических гладких участков. Традиционная геометрия уходит в бесконечную рекурсию при попытке описать. Подходы к их описанию и количественным оценкам появились достаточно недавно. Отцом фрактальной геометрии является Бенуа Мандельброт. Его фундаментальный труд был впервые опубликован в 1977 году.

В данном реферате будут отражены недостатки классического подхода к описанию физических явлений и обзор фрактальных величин. В реферате описаны такие фрактальные величины как: различные виды рамерности и гармоническая мера. Подробно освещены вопросы, связанные с компьютерным моделированием.

Не освещеными остались вопросы:

- фрактальные временные ряды и закон Херста,

- соотношение между мультифрактальным спектром f(a) и показателем массы t(а)

- дробные производные и интегралы

- векторные и скалярные поля с фрактальными характеристиками

- задачи перколляции,

- является ли фрактальная математика новой парадигмой в науке?

Предыстория

Простые истины алгебры, геометрии, теории чисел и теории множеств проделали достаточно долгий путь от интуитивных догадок до строгих выкладок. Математиков, которые находили каверзные контрпримеры все это время недолюбливали, так как они вызывали кризис здравого смысла, к которому стремились остальные ученые.

Полани писал "...в научном исследовании всегда имеются какие-то детали, который ученый не удостаивает особым вниманием в процессе верификации точной теории. Такого рода личностная избирательность является неотъемлемой чертой науки." [3]

Большинство ученых старались отстраниться от трудных линий.

Примером может служить история с кривой Хельге фон Коха описанная в 1904 году. [9]

[10,С.61] Чуть ли не единодушно ученые провозгласили кривую Коха чудовищной! За подробностями обратимся к работе Хана «Кризис здравого смысла» [1]. Хан пишет: «Характер неспрямляемой кривой или кривой, к которой невозможно провести касательную совершенно не укладывается в рамки того, что мы можем понять интуитивно. В самом деле, всего лишь после нескольких повторений простой операции сегментирования образующаяся фигура становится настолько сложной, что с трудом поддается непосредственному восприятию, а уж то, к чему эта кривая стремится в пределе, и вовсе невозможно себе представить. Только с помощью разума, применяя логический анализ, мы можем до конца проследить эволюцию этого странного объекта. Если бы мы положились в данном случае на здравый смысл, то составленное нами представление оказалось бы в корне ошибочшным, поскольку здравый смысл неизбежно привел бы нас к заключению, что кривых, не имеющих касательной ни в одной своей точке, попросту не бывает; Этот первый пример неадекватности интуитивного подхода затрагивает самые фундаментальные концепции дифференцирования».

[10 C,91] Подобное, единогласное недоумение математического сообщества вызвала кривая Джузеппе Пеано. Эта кривая может заполнить всю плоскость без остататка и при этом она не содержит самопересечений. Свой вклад в построение подобных множеств внес Госпер.

Кроме Пеано и Коха, свой вклад в кризис внесли Георг Кантор с его множеством, называемым «фрактальной канторовой пылью». Также Жанн Перен и Норберт Винер нашли нестандартные математические свойства в давно известном броуновском движении. Серпиньский и Менгер построили свои известные множества. Босман построил Дерево Пифагора. Дирихле привел пример разрывной в каждой точке функции.

[DA1]

Фракталы

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный) — термин, введённый Бенуа Мандельбротом в 1975 году. До сих пор нет строгого математического определения фрактальных множеств. Свой фундаментальный труд Мандельброт выполнил в жанре эссе, как бы давая читателям простор для фантазии и позволив им соучаствовать в процессе разработки теории и её приложений. Заслуга Мандельброта в том, что он смог обобщить и систематезировать «неприятные» множества и построить красивую и интуитивно понятную теорию. Он открыл для нас удивительный мир фракталов, красота и глубина которых порой поражают воображение, вызывают восторг у ученых, хужожников, философов… Работа Мандельброта была стимулирована передовыми компьютерными технологиями, которые позволили генерировать, визуализировать и исследовать различные множества. Ни одна работа по фраталам не обходится без красивых иллюстраций.

Классификации фракталов

В основном фракталы делят на геометрические, алгебраические и стохастические. При определенных условиях стохостические фракталы могут называться мультифракталы.

Однако существуют и другие классификации:

Рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования — то есть максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

- Детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

Геометрические фракталы

[9] История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса — самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность.

В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора.

Примерами таких кривых служат:

· кривая дракона;

· кривая Коха;

· кривая Леви;

· кривая Минковского;

· кривая Пеано.

К геометрическим фракталам также относят фракталы, получаемые похожими процедурами, например:

· множество Кантора;

· треугольник Серпиньского;

· коврик Серпиньского;

· кладбище Серпиньского;

· губка Менгера;

· дерево Пифагора.

Алгебраические фракталы

[9] Для построения алгебраических фракталов используются итерации нелинейных отображений, задаваемых простыми алгебраическими формулами.

Наиболее изучен двухмерный случай. Нелинейные динамические системы могут обладать несколькими устойчивыми состояниями. Каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно в него перейдет. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов.