Автор Рыбаков Д. А (стр. 4 из 5)

Как и в предыдущем алгоритме, N(L) есть число клеток размера L, необходимых для покрытия фрактала. Как подсказывает интуиция, число клеток размера L, содержащих m точек, равно (М/m)Р(m,L). Поэтому оценка числа клеток, покрывающих все изображение, равна

где К — возможное число точек в клетке. Следовательно,

также пропорционально L ^d и может быть использовано для оценки фрактальной размерности d.

Заключение : вычисление фрактальной размерности является развивающейся областью. Существуют разные способы ее вычисления.

Мультифракталы и обобщенные размерности Реньи d_q

[7] Дадим общее определение мультифракталов. Рассмотрим фрактальный объект, занимающий некую ограниченную область A, имеющую diamA = L в евклидовом пространстве размерности n. Пусть на каком-то этапе его построения он представляет собой множество точек из N>>1, как-то распределенных в этой области. В конце концов предполагаем, что N®¥.

Множество точек может представлять собой некоторую популяцию, состоящую из особей одного вида распределенных по области A. Такой популяцией могут быть, например, народонаселение или сеть метеостанций. Обе популяции неравномерно распределены по поверхности Земли. Пространственное распределение энергии, распределение ошибок в канале связи, распределение примесей в жидких средах, масс в веществе - примеры таких популяций. Важно отметить, что неравномерное распределение особей остается в силе независимо от линейного масштаба.

Разобьем всю область A на гиперкубические ячейки со стороной e и объемом e^d соответственно. Далее нас будут интересовать только занятые ячейки, в которых содержится хотя бы одна точка. Обозначим N(e) число таких ячеек, оно очевидно зависит от e. Пусть n_i(e) - число точек в i-й ячейке. Тогда величина

- есть вероятность того, что некоторая точка содержится в i-м кубике. То есть эта вероятность характеризует относительную заселенность ячейки. По правилу нормировки вероятностей:

Введем в рассмотрение так называемую обобщенную статистическую сумму, характеризуемую показателем q:

где -¥ £ q £ +¥.

Определение. Спектром обобщенных фрактальных размерностей Реньи, характеризующих распределение точек в области А называется совокупность величин:

где

Для обычного однородного фрактала все эти размерности совпадают. То есть если d_q = const, т.е. не зависит от q, то рассматриваемое множество точек представляет собой обычный, регулярный фрактал, который характеризуется всего лишь одной величиной - фрактальной размерностью d_H. Напротив, если функция d_q как-то меняется с q, то рассматриваемое множество точек является мультифракталом.

Таким образом, мультифрактал в общем случае характеризуется нелинейной функцией t(q),определяющей поведение статистической суммы Z(q,e) при e®0

Следует иметь ввиду, что предельный нереход при e®0 надо выполнять, помня, что ему всегда предшествует предел N®0.

В случае обычного фрактала функция

т.е. является линейной. Тогда все d_q=d и действительно не зависят от q. Для фрактала, все обобщенные фрактальные размерности d_q которого совпадают, часто используется термин монофрактал.

Если распределение точек по ячейкам неодинаково, то фрактал является неоднородным, т.е. представляет из себя мультифрактал, и для его характеристики необходим целый спектр обобщенных фрактальных размерностей d_q, число которых, в общем случае, бесконечно.

Так, например, при q®¥ основной вклад в обобщеннную статистическую сумму вносят ячейки, содержащие наибольшее число частиц n_i в них и, следовательно, характеризующиеся наибольшей вероятностью их заполнения p_i. Наоборот, при q® -¥ оcновной вклад в сумму дают самые разреженные ячейки с малыми значениями чисел заполнения p_i. Таким образом, функция d_q показывает, насколько неоднородным является исследуемое множество точек A.

Фрактальная размерность d₀

[7] Выясним теперь, какой физический смысл имеют обобщенные фрактальные размерности d_q для некоторых конкретных значений q. Так, при q=0 из выражения

следует, что

С другой стороны

Сопоставляя эти два равенства, мы приходим к соотношению N(e)~e^d0 Это означает, что величина d₀ представляет собой обычную хаусдорфову размерность множества A. Она является наиболее грубой характеристикой мультифрактала и не несет информации о его статистических свойствах.

Информационная размерность d₁

то t(1)=0

Теперь, устремляя q®1, раскладывая экспоненту и учитывая условие нормировки, получаем

В результате мы приходим к следующему выражению

С точностью до знака числитель в этой формуле представляет собой энтропию фрактального множества:

Такое определение энтропии множества полностью идентично используемому в термодинамиаке, где под pi понимается вероятность обнаружить систему в квантовом состоянии i. В результате величина обобщенной фрактальной размерности d1 связана с энтропией соотношением

В термодинамике энтропия есть мера беспорядка в системе.

то величина d1 характеризует информацию, необходимую для определения местоположения точки в некоторой ячейке. В связи с этим обобщенную фрактальную размерность d1 часто называют информационной размерностью. Она показывает, как информация, необходимая для определения местоположения точки, возрастает при стремлении размера ячейки e к нулю.

Корреляционная размерность d₂

Не будем приводить полные выкладки. [7] При вычислении суммы Z мы можем ввести кореляционный интеграл I(e) и получаем зависимость вероятности того, что две произвольно выбранные точки из множества A лежат внутри одной ячейки с размером e.

Мы приходим к выводу, что обобщенная размерность d2 определяет зависимость корреляционного интеграла I(e) от e. По этой причине величину d2 называют корреляционной размерностью.

Функция мультифрактального спектра f(a)

[7] Размерности Реньи не являются фрактальными размерностями в строгом понимании, по этой причине они называются обобщенными. Существует функция мультифратального спектра, которая имеет непосредственное отношение к фрактальности.

При подсчете статистической суммы в спектре Реньи суммируются ячейки с разной заполненностью. Функция же мультифрактального спектра f(a) характеризует собой хаусдорфову размерность однородного фрактального подмножетва A_a Ì A, характеризуемого одинаковыми вероятностями заполнения ячеек p_i ~ e^a . Таким образом становится более понятным термин мультифрактал – его можно понимать как объеденение однородных фракталов.

Типичный вид функции f(a) :

Функция f(a) обладает следующими свойствами f(a) £ d_0, f(a) £ а. Знак равенства появляется, для полностью однородного фрактала.