Автор Рыбаков Д. А (стр. 2 из 5)

Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Алгоритм построения достаточно прост и основан на итеративном выражении:

zi + 1 = F(zi),

где F(z) — какая-либо функция комплексной переменной.

Для всех точек прямоугольной или квадратной области на комплексной плоскости вычисляем достаточно большое количество раз zi + 1 = F(zi), каждый раз находя абсолютное значение z. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости могут иметь разное поведение:

· С течением времени | z | стремится к бесконечности;

· | z | стремится к 0;

· | z | принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы;

· Поведение | z | хаотично, без каких-либо тенденций.

Одним из самых распространённых способов раскрашивания точек будет сравнение | z | с заранее выбранным числом, которое считается «бесконечным», т. е. цвет точки равен номеру итерации, на которой | z | достиг «бесконечности», или чёрному в противном случае.

Также можно изменить вид фрактала, если контроль значения z вести другим образом, например:

· Действительная часть z меньше определённого числа;

· Мнимая часть z меньше определённого числа;

· И мнимая и действительная части z меньше какого-либо числа;

· Другие способы.

И, наконец, ещё один интересный эффект — изменение палитры. После того, как изображение построено, можно циклически изменять цвета закрашенных областей, и тогда и без того удивительное изображение «оживёт» на экране.

Примеры алгебраических фракталов:

· множество Мандельброта;

· множество Жюлиа;

· бассейны Ньютона;

· биоморфы.

Стохастические фракталы

Все природные объекты создаются по капризу природы, в этом процессе всегда есть случайность. Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Эти фракталы наиболее интересны для физиков, так как находят свое отражение в физических процессах. Соотношение случайности и закономерности может быть разным.

Хаусдорфово расстояние между множествами

[6] Хаусдорф придумал оригинальню метрику, которая пременима к множествам из Âⁿ. Она играет важную роль в математике фракталов.
Мы будем руководствоваться интуитивно понятным определением. Так же здесь не будет приведено доказательство, что расстояние Хаусдорфа обладает всеми свойствами метрики.

Пусть Е и F – это 2 непустых компактных подмножества Âⁿ

Пусть число r>0.

Пусть B_r – замкнутый шар с центром в начале координат.

Определение: дилатация E радиуса r (обозначается E + r) называется векторная сумма E + B_r

Определение: Расстояние Хаусдорфа

H(F,E) = min{e>0 : E Ì F + e и F Ì E + e}

Пример: Пусть А и В – эллипсы

Наименьшее e, при котором А Ì B +e и B Ì А +e составляет 3.5, то есть H(A,B)=3.5.

Размерность

Существуют разные размерности для множеств. Привычные со школьной скамьи представления о трехмерном пространстве, двухмерной плоскости, одномерной линии и тд имеют весьма поверхностный и упрощенных взгляд на все многообразие, которое скрывает в себе термин размерность. Далее мы рассмотрим строгие алгебраические теории , филосовские и практические концепции размерности. Зачастую концепции размерности строятся через обнаружение параметров, которые относятся покрывающим множествам. Но это не единственный способ.
Так же будут рассмотрены дробные размерности, практическая значимость которых была показана Мадельбротом в 1970x годах.

[4] Размерность сильно зависит от того как ее измерять. Это означает, что кроме формул для подсчета размерности необходимо точно задать и некий операциональный набор способа измерения и интерпретации размерности. Традиционно с размерностью связывают количество независимых параметров, необходимых что бы задать положение точки в пространстве. Положение точки области плоскости, ограниченной квадратом можно задать двумя измерениями, и тогда ее размерность будет равна двум. А можно исхитриться, и представить себе эту область в виде ломаной с очень сильно прижатыми друг к другу звеньями, сложенными наподобие столярного метра, например кривой Пеано. Тогда, для задания положения точки хватит и одного измерения, и размерность будет равна единице. Далее мы постораемся привести различные размерности и способы их измерений а так же дать информацию об их практическом применении.

Топологическая размерность

Топологическая размерность - это обычная геометрическая размерность. Она принимает исключительно целые значения.

Топологическая размерность отрезка линии равна 1, квадрата - 2, куба - 3. В простых явлениях она характеризует зачастую (но не всегда!) количество степеней свободы или количество параметров, необходимых для однозначного задания любой точки множества.

Теория топологической размерности – это развитая область математики. Строгое математическое определение для метрических и топологических пространств пренадлежит Лебегу и иногда этот вид размерности называется размерность Лебега. Так же свой вклад внесли Урысон и Брауэр.

Топологическая размерность определяется индуктивным способом, поэтому её еще иногда нызавют индуктивной размерностью.

Приведем краткое определение для метрических пространств [9]

Определение: Для компактного метрического пространства X размерность Лебега определяется как наименьшее целое число n, обладающее тем свойством, что при любом

существует конечное открытое -покрытие X, имеющее кратность ;

При этом

-покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр , а кратностью конечного покрытия пространства X называется наибольшее такое целое число k, что существует точка пространства X, содержащаяся в k элементах данного покрытия.

Премеры топологически одномерных пространств: окружность, салфетка Серпиньского, коврик Серпиньского, губка Менгера.

Обобщение формул для объема n-мерных тел.

Одной из предпосылок для введения дробных размерностей служат формулы объемов n-мерных тел, которые плавным образом зависят от n.

Например объем n-мерного куба V_куба = Lⁿ, nÎN. Для евклидовых пространств n принимает только неотрицательные целые значения. Формула легко обобщается. Для пространств, задаваемых фрактальными множествами n может принимать вещественные неотрицательные значения. V_куба = L^D где D Î R⁺.

Соответствующее обобщение можно сделать для шара [6]

Точный объем шара V_шара = r^D g(D)
Где g(D) = Г(1/2)^D / Г(1+D/2)

Где Г – непрерывная функция. Для целых чисел Г(n+1)=n!

Для рациональных - Г(x) = _oò^¥ exp(-t) t^x-1dt,

Размерность Минковского

[6] Предыдущее обобщение служит поводом для обобщение рамерности для компактного множества АÌÂⁿ. Приведем краткое определение. Для этого аппроксимируем А объединением шаров и просуммируем их объемы (или меры в общем случае).

Пусть N(e) — минимальное число шаров радиса e, необходимых для покрытия компактного множества А. Их суммарный объем V пропорционален N(e)e^D. При e®0 , N(e)®const / e^D . Логарифмируем и получаем ln N(e)®ln const - D ln(e) .

Находим