Решение уравнения
Рассмотрим уравнение
Данное уравнение второго порядка описывает колебательное движение. Здесь ω – некоторая действительная постоянная, а ε – малый параметр.
Делаем в уравнении (1) замену:
Переходим в уравнении (1) к новым переменным a и
Далее, дифференцируем (3) по t, считая
Подставим (4) в (2), учитывая (3).
Разрешим эту систему относительно
Домножим второе уравнение на
тогда имеем:
Система (6) полностью эквивалентна уравнению (1). Соответствующая системе (6) усредненная система имеет вид
В системе (7)
то есть
Таким образом имеем
Чтобы найти в явном виде закон изменения амплитуды в зависимости от времени, необходимо решить первое уравнение системы (8):
Умножим обе части равенства на
Сделаем замену
умножаем обе части равенства на
Так как
то тогда
или
Предположим, что
Отсюда находим
Колебания представятся следующим образом (находим выражение для приближенного значения x в явном виде)
Найдем
Динамический режим обладает сильной устойчивостью, заключающейся в том, что каково бы ни было значение
Как видно из выражения (9), если начальное значение амплитуды
Однако, исходя из формулы (9), нетрудно заключить, что этот статический режим неустойчив. Действительно, как бы ни было мало начальное значение амплитуды, оно все равно будет монотонно приближаться к значениям, равным
Из выражения (9) следует, что если
Иначе говоря, любое колебание при увеличении t приближается к стационарному колебанию, то есть колебания будут устойчивы.
Режимы с постоянной амплитудой, для
А
Корни этого уравнения
Таким образом,
Для любого заданного положительного сколь угодно малого значения параметра