Из теоремы Пикара следует, что при всех таких t приближенное выражение сходится к решению задачи Коши:
где
С учетом возможности такого разбиения
Если рассмотреть
где с учетом (4)
Рассмотрим интеграл при
Вычислим
То есть
Мы можем сказать, что в (8), все, что стоит под знаком суммы
Так как
то последнее неравенство равносильно следующему:
Пусть
Оценим
Фактически нужно оценить величину
Используем условие Липшица для
(последняя оценка получена с помощью неравенства (11)).
Можно увидеть следующую закономерность
По методу математической индукции, для
Используя формулу (13), далее получим:
Теперь в этом неравенстве перейдем к пределу при
Обозначим через
Так как мы пользовались условиями Липшица, нужно убедиться, что приближения не выходят из области G.
В силу плотности числовой прямой
Проверим, вышло ли первое приближение за пределы области G. Пользуясь оценками (19) и (20), имеем:
Возьмем
тогда
Аналогично проверяем второе приближение
Возьмем
И если
если
Если мы перейдем к перейдем к пределу при
Если мы