Доказательство.
I. Существование. Если А совпадает с А´, В – с B´, С – с C´, D – с D´, то задано просто тождественное преобразование. Если нет, то положим для определённости, что А не совпадает с А´. Рассмотрим плоскость α симметрии точек А и А´. Пусть симметрия Sα переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B1C1D1.
Теперь, если В1 совпала с В´, С1 – с С´, D1 – с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки В´ и В1 не совпали. Рассмотрим плоскость β симметрии точек B1 и B´. Точка A´ – равноудалена от точек В1 и В´, следовательно лежит на плоскости β. Пусть симметрия Sβ переводит тетраэдр A´B1C1D1 в тетраэдр A´B´C2D2.
Теперь, если С2 совпала с С´, а D2 – с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки С´ и С2 не совпали. Рассмотрим плоскость γ симметрии точек С2 и С´. Точки А´, В´ равноудалены от точек С2 и С´, поэтому лежат в плоскости γ. Пусть симметрия Sγ переводит тетраэдр A´B´C2D2 в тетраэдр A´B´C´D3.
Теперь, если D3 совпала с D´, то доказательство завершено. Если нет, то рассмотрим плоскость δ симметрии точек D3 и D´. Точки А´, В´, С´ равноудалены от точек D3 и D´, поэтому лежат в плоскости δ. Значит, симметрия Sδ переводит тетраэдр A´B´C´D3 в тетраэдр A´B´C´D´.
Итак, композиция нужного числа приведённых зеркальных симметрий переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B´C´D´. А это преобразование является движением (свойство 2 движений).
II. Единственность. Пусть существуют 2 движения f и g, переводящие А в А´, В в В´, С в С´, D в D´. Тогда движение
При доказательстве теоремы 5.1 (существование), фактически была доказана и
Теорема 5.2. Любое движение пространства есть композиция не более четырёх зеркальных симметрий.
6. Движения первого и второго рода.
Определение. Пусть (
Теорема 6.1. Зеркальная симметрия меняет ориентацию любой упорядоченной тройки некомпланарных векторов.
Доказательство. В этом можно убедиться непосредственной проверкой.
Определение. Если для упорядоченной тройки некомпланарных векторов движение сохраняет (меняет) её ориентацию, то такое движение называется движением первого (второго) рода.
Теорема 6.2. (корректность определения) Если при движении некоторая упорядоченная тройка некомпланарных векторов сохраняет (меняет) ориентацию, то любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов при этом движении сохраняет (меняет) ориентацию.
Доказательство. Представим наше движение в виде композиции зеркальных симметрий (по теореме 5.2 это можно сделать). Пусть наше движение – композиция k зеркальных симметрий,
Теорема 6.3. Любое движение I рода есть композиция двух или четырёх зеркальных симметрий.
Теорема 6.4. Любое движение II рода есть зеркальная симметрия или композиция трёх зеркальных симметрий.
Теорема 6.5. (теорема Даламбера) Движение I рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, представимо композицией двух зеркальных симметрий.
Доказательство. Вспомним доказательство теоремы 5.1 (существование). Пусть одна из точек А, В, С, D и есть неподвижная точка пространства. Тогда наше движение представится композицией не более трёх зеркальных симметрий. Но наше движение I рода. Значит, по теореме 6.3 оно является композицией двух зеркальных симметрий.
7. Классификация движений пространства.
Пользуясь доказанными теоремами, можно классифицировать все движения пространства.
Мы хотим доказать общую теорему:
Теорема 7.0. Любое движение пространства есть параллельный перенос, винтовое движение, поворот вокруг оси, зеркальная симметрия, поворотная симметрия или переносная симметрия.
Для этого удобно разбить все движения по классам. И для каждого класса определить все движения, входящие в этот класс. Для начала разобьём все движения на движения I и II рода и докажем две теоремы, из которых сразу следует теорема 7.0:
Теорема 7.1. Любое движение I рода есть параллельный перенос, винтовое движение или поворот вокруг оси.
Теорема 7.2. Любое движение II рода – это зеркальная симметрия, поворотная симметрия или переносная симметрия.
Для доказательства этих теорем удобно разбить движения на классы по количеству неподвижных точек. Теперь мы получим четыре теоремы, каждая из которых в отдельности доказывается несложно:
Теорема 7.1.а. Любое движение I рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, является поворотом вокруг оси.
Теорема 7.1.б. Любое движение I рода, не имеющее неподвижных точек, есть параллельный перенос или винтовое движение.
Теорема 7.2.а. Любое движение II рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, является зеркальной симметрией или поворотной симметрией.
Теорема 7.2.б. Любое движение II рода, не имеющее неподвижных точек, есть переносная симметрия.
Эти теоремы фактически доказывают теоремы 7.1 и 7.2.
Будем доказывать их не по порядку, т.к. при доказательстве некоторых теорем удобно использовать другие.
Пусть f – данное движение.
Доказательство теоремы 7.1.а. Утверждение – простое следствие теоремы 6.5 (теоремы Даламбера), согласно которой f можно представить композицией двух зеркальных симметрий. Если плоскости симметрии параллельны, то f – параллельный перенос, что невозможно, т.к. у параллельного переноса нет неподвижных точек. Значит, плоскости симметрии пересекаются по некоторой прямой ℓ. Тогда, как легко показать, f – поворот вокруг оси ℓ на удвоенный ориентированный угол между плоскостями симметрии.
Доказательство теоремы 7.2.а. Возможны два случая: f – зеркальная симметрия или f – композиция трёх зеркальных симметрий (теорема 6.4). В первом случае и доказывать нечего. Во втором случае рассмотрим неподвижную точку О нашего преобразования f . Теперь рассмотрим движение
Доказательство теоремы 7.2.б. Пусть А´ – образ некоторой точки А при движении f, α – плоскость симметрии точек А и А´. Тогда движение