Философия математики Л. Витгенштейна Петюшко А. А., аспирант 1 г о. кафедры (стр. 3 из 11)
a. … знак ‘[a, x, O’x]’ как общий термин для ряда форм a, O’a, O’O’a, …. (5.2522)
b. … общую форму операции
[как] 
. (6.01)c. … общую форму предложения (“функция истинности”) [как]
. (6)d. Общую форму целого [натурального числа] [как]
. (6.03)добавляя, что «концепция числа это... общая форма числа» (6.022). Как подметил Frascolla (и Marion позднее), «общая форма предложения – это частный случай общей формы «операции»» (Marion 1998, стр. 21), и все три общие формы (т.е., операции, предложения и натурального числа) строятся на основе переменной в (5.2522) (Marion 1998, стр. 22). Определяя «операцию как выражение связи между структурами ее результатов и ее оснований» (5.22), Витгенштейн отмечает, что в связи с тем что «функция не может быть собственным аргументом,... операция может принимать один из своих результатов за свое основание» (5.251).
По описанию Витгенштейна ‘[a, x, O’x]’ (5.2522), «первый член выражения в скобках – это начало ряда форм, второй – это форма элемента x, произвольным образом выбранного из ряда, и третий [O’x] – это форма элемента, который непосредственно следует за x в этом ряду». С учетом того, что «идея последовательных применений операции эклвивалентна идее «и так далее»» (5.2523), можно понять, как натуральные числа могут быть порождены повторяющимися итерациями общей формы натурального числа, а именно «
». Подобным образом функционально-истинностные предложения могут быть порождены, как пишет Рассел во введении к ЛФТ (p. xv), общей формой предложения « » путем «взятия любого набора атомарных предложений [где p «обозначает все атомарные предложения»; «черта над переменной обозначает, что она принимает все свои значения» (5.501)], применения ко всем ним операции отрицания, после чего выбирается любой набор новых предложений вместе с изначальными [где x «обозначает любое множество предложений»] – и так далее до бесконечности». По мнению Frascolla (1994, 3ff), «числовое тождество «t = s» - это теорема арифметики тогда и только тогда, когда соответствующее уравнение « 
», которое содержится в языке общей теории логических операций, может быть доказано». Доказывая «уравнение « 
», которому соответствует арифметическое тождество “2 × 2 = 4” в языке операций» (6.241), Витгенштейн т.о. намечает «перевод числовой арифметики в область общей теории операций» (Frascolla 1998, 135).Несмотря на тот факт, что Витгенштейн, очевидно, не пытается свести математику к логике в манере Рассела или Фреге, или к тавтологиям, и несмотря на то, что Витгенштейн критикует логицизм Рассела (например, теория типов, 3.31-3.32; аксиома сводимости, 6.1232, и т.д.) и логицизм Фреге (6.031, 4.1272, и т.д.) [3], значительное количество комментаторов, как ранних, так и современных, интерпретируют теорию математики Витгенштейна в ЛФТ как вариант логицизма [(Quine 1940 [1981, 55]), (Benacerraf и Putnam 1964, 14), (Black 1966, 340), (Savitt 1979 [1986], 34), (Frascolla 1994, 37; 1997, 354, 356-57, 361; 1998, 133), (Marion 1998, 26 & 29), и (Potter 2000, 164 и 182-183)]. На это есть по крайней мере четыре причины.
1. Витгенштейн пишет, что «математика – это метод логики» (6.234).
2. Витгенштейн пишет, что «логика мира, которая показана в тавтологиях предложениями логики, показана уравнениями в математике» (6.22).
3. По Витгенштейну, мы устанавливаем истинность как математических, так и логических предложений только лишь по одним символам (т.е., с помощью чистых формальных операций), не делая никаких («внешних», не-символьных) наблюдений положений дел или фактов в мире.
4. Итеративная (индуктивная) витгенштнейновская «интерпретация чисел как порядок переменной, обозначающей операцию» - это «сведение арифметики к теории операций», где «операция» истолковывается как «логическая операция» (Frascolla 1994, 37), которая показывает, что «ярлык «не-классический логицизм» согласовывается с взглядом ЛФТ на арифметику» (Frascolla 1998, 133; 1997, 354).
Хотя по крайне мере три логистические интерпретации ЛФТ появились только в последние 8 лет, следующие факторы [(Rodych 1995), (Wrigley 1998)] показывают, что ни одна из вышеперечисленных причин не является полностью убедительной.
Например, говоря, что «математика – это метод логики», Витгенштейн, возможно, всего лишь говорит, что т.к. общая форма натурального числа и общая форма предложения являются частными случаями общей формы (чисто формальной) операции, точно так же как функционально-истинностные предложения могут быть построены с использованием общей формы предложения, (истинные) математические уравнения могут быть построены с использованием общей формы натурального числа. В качестве варианта, Витгенштейн мог иметь в виду, что математические выводы (т.е., не подстановки) находятся в соответствии с, или применяют, логическими выводами, и т.к. математическое мышление есть логическое мышление, то математика есть метод логики.
Подобным образом, говоря, что «логика мира» показана тавтологиями и истинными математическими уравнениями (т.е., п. 2), Витгенштейн мог иметь в виду, что т.к. математика была изобретена, чтобы помочь нам с подсчетом и измерениями, и в той мере как она позволяет нам выводить одни контингенциальные предложения из других контингенциальных предложений (см. 6.211 ниже), она таким образом отражает контингенциальные факты и «логику мира». Хотя логика – которая присуща естественному («каждодневному») языку (4.002, 4.003, 6.124) и которая нам помогает в наших коммуникативных, исследовательских и присущих выживанию нуждах – не была изобретена подобным образом, правильный логический вывод захватывает взаимосвязь между возможными фактами, а трезвый логический вывод захватывает взаимосвязь между существующими фактами.
Что касается п. 3, Black, Savitt, и Frascolla привели доводы, что т.к. мы устанавливаем истинность тавтологий и математических уравнений без какого бы то ни было апеллирования к «положениям дел» или «фактам», истинные математические уравнения и тавтологии настолько похожи, что мы можем «надлежащим образом» описать «философию арифметики ЛФТ... как вариант логицизма» (Frascolla, 1994, 37). Возражением на это служит то, что похожесть, которую подметили Frascolla, Black и Savitt, не делают теорию Витгенштейна «вариантом логицизма» в смысле Рассела или Фреге, потому что Витгенштейн не определяет числа «логически» так, как это делают Рассел или Фреге, и похожесть (или аналогия) между тавтологиями и истинныи математическими уравнениями не является ни тождеством, ни соотношением сводимости.
Наконец, критики приводят доводы, что проблема из п. 4 такова, что не существует доказательства того утверждения, что рассматриваемая операция логическая в ее понимании Витгенштейном, Расселом или Фреге – она кажется чисто формальной, синтаксической операцией (Rodych 1995). «Логические операции выполняются с предложениями, арифметические операции – с числами», говорит Витгенштейн (WVC 218); «результат логической операции – это предложение, результат арифметической операции – это число». В целом, критика логистической интерпретации ЛФТ доказывает, что пп. 1-4 ни по отдельности, ни вместе взятые, не формируют убедительной почвы для логистической интерпретации ЛФТ.
Другой важный момент теории математики в ЛФТ находится в (6.211).
В жизни ведь нет таких математических предложений, в которых мы бы нуждались. Далее, мы используем математические предложения только для вывода одних предложений, не принадлежащих математике, из других предложений, также не принадлежащих математике. (В философии вопрос «для чего мы, собственно, используем это слово или это предложение» периодически приводит к ценным результатам).
Хотя математика и математическая деятельность чисто формальные и синтаксические, в ЛФТ Витгенштейн неявно отделяет чисто формальные игры со знаками, которые не имеют никаких приложений в контингенциальных предложениях, от математических предложений, которые используются для выводов одних контингенциальных предложений из других контингенциальных предложений. Однако, Витгенштейн явным образом не говорит, как математические уравнения, которые не являются подлинными предложениями, используются для вывода одних подлинных предложений из других подлинных предложений [(Floyd 2002, 309), (Kremer 2002, 293-94)]. Как мы увидим из §3.5, поздний Витгенштейн возвращается к важности внешнего математического приложения и использует его для отличения простой «знако-игры» от подлинной математичкой языковой игры.
Это, вкратце, теория математики Витгенштейна в ЛФТ. Во введении к ЛФТ Рассел писал, что «теория числа» Витгенштейна «нуждается в огромной технической доработке», в основном из-за того, что Витгенштейн не показал, как работать с трансфинитными числами (Витгенштейн, 1922, xx). Подобным образом, в своем обзоре ЛФТ, Frank Ramsey писал, что «мнение» Витгенштейна не покрывает всю математику, частично из-за того, что теория уравнений Витгенштейна не может объяснить неравенства (Ramsey 1923, 475). И хотя сомнительно, что в 1923 Витгенштейн мог представить себе все эти проблемы, но несомненно, что теория математики в ЛФТ, по существу, только лишь набросок, особенно по сравнению с тем, что начинает Витгенштейн развивать шестью годами позднее.