Философия математики Л. Витгенштейна Петюшко А. А., аспирант 1 г о. кафедры (стр. 2 из 11)

Философия математики Витгенштейна

Стэнфордская философская энциклопедия

Впервые опубликовано 23 февраля 2007 г.

Философия математики Людвига Витгенштейна, несомненно, наиболее неизвестная и недооцененная часть его философского творчества. На самом деле, более половины работ Витгенштейна с 1929 по 1944 было посвящено математике, что сам Витгенштейн признал в 1944, написав, что его «наибольший вклад был сделан в области философии математики» (Monk 1990, 466).

Основа математической концепции Витгенштейна была по большей части изложена в Логико-Философском трактате (1922; далее просто ЛФТ), где главной целью философа было разработать связь «язык-реальность» путем определения, что нужно для языка, или для использования языка, для того, чтобы он был о мире (отражал реальность). Витгенштейн частично отвечает на этот вопрос, утверждая, что подлинные предложения (высказывания), которые мы можем использовать для конструирования утверждений о реальности, – это только контингенциальные [1] («эмпирические») предложения, т.е. они истинны, если отражают реальность, и ложны в противоположном случае (4.022, 4.25, 4.062, 2.222). Отсюда следует, что все другие предложения являются псевдо-предложениями различных типов, и что все остальные использования слов «истина» и «истинный» значительно отклоняются от той «истины в соответствии» (или соглашении), которую имеют контингенциальные предложения в отношении к реальности. Т.о., начиная от даты выхода ЛФТ до, по крайне мере, 1944, Витгенштейн придерживается мнения, что «математические предложения» не являются реальными предложениями, и что «математическая истина» не имеет по существу связи с реальностью и чисто синтаксическая по своей природе. С точки зрения Витгенштейна, мы изобретаем математические исчисления и расширяем область математики с помощью вычисления и доказательства, и т.о. мы узнаем из доказательства, что теорема может быть выведена из аксиом путем определенных правил некоторым способом, и это не тот случай, когда этот метод доказательства уже существует до того, как мы его сами сконструировали.

Как мы увидим далее, философия математики Витгенштейна появляется в зачаточном состоянии в ЛФТ, затем развивается в финитный конструктивизм в средний период (Philosophical Remarks (1929-1930) и Philosophical Grammar (1931-1933), соответственно; далее - PR и PG, соответственно), после чего получила дальнейшее продолжение как по новым, так и по старым направлениям в MSS, использованных в Remarks on the Foundations of Mathematics (1937-1944; далее RFM). В силу того, что содержательный взгляд Витгенштейна на математику эволюционировал с 1918 по 1944, то и его работы и философские стили менялись от утвердительного, афористического стиля в ЛФТ, более ясного, аргументированного стиля в средний период, до диалектического, разговорного стиля в RFM и Philosophical Investigations (далее PI).

1. Витгенштейн о математике в Трактате

2. Финитный конструктивизм Витгенштейна в средний период

2.1 Конструктивный формализм Витгенштейна

2.2 Финитизм Витгенштейна

2.3 Финитизм Витгенштейна и алгоритмическая разрешимость

2.4 Мнение Витгенштейна о математической индукции и алгоритмической разрешимости

2.5 Мнение Витгенштейна об иррациональных числах

2.6 Критика Витгенштейна теории множеств

3. Поздний Витгенштейн о математике: некоторые предварительные положения

3.1 Математика как изобретение человека

3.2 Поздний финитный конструктивизм Витгенштейна

3.3 Поздний Витгенштейн о разрешимости вообще и об алгоритмической разрешимости.

3.4 Поздняя Критика Витгенштейна теории множеств: Не-перечислимость против не-счетности

3.5 Внешнее математическое приложение как необходимое условие математической значимости

3.6 Витгенштейн о Геделе и неразремых математических предложениях

4. Влияние философии математики на саму математику

1. Витгенштейн о математике в Трактате

Формалистская, не привязанная к реальности концепция Витгенштейна в отношении математических утверждений и терминов берет свое начало в ЛФТ [2]. Действительно, он делает набросок своей Философии математики в ЛФТ, противопоставляя математику и математические уравнения с подлинными (контингенциальными) утверждениями, смыслом, мышлением, пропозициональными знаками и их составляющими именами, и истиной-в-соответствии.

В ЛФТ Витгенштейн утверждает, что подлинное предложение, которое опирается на общепринятые соглашения, используется нами для обозначения, что положение дел (т.е., элементарный или атомарный факт; ‘Sachverhalt’) или факт (т.е., несколько положений дел; ‘Tatsache’) имеет место только в реальном мире. Элементарное предложение изоморфно возможному положению дел, которое оно представляет: оно должно содержать столько же имен, сколько объектов в возможом положении дел. Элементарное предложение истинно тогда и только тогда, когда соответствующее возможное положение дел (т.е., смысл; ‘Sinn’) имеет место. Витгенштейн четко обозначил эту теорию соответствия истине в (4.25): «Если элементарное предложение истинно, то атомарный факт существует; если элементарное предложение ложно, то атомарный факт не существует.» Но предложения и их языковые части мертвы – предложение имеет смысл только потому что мы, человеческие существа, снабжаем их общепринятым смыслом (5.473). Более того, пропозициональные знаки могут быть использованы для совершения любого числа вещей (например, обидеть, привлечь чье-то внимание); для обозначения того, что положение дел имеет место, человек должен «проецировать» смысл предложения – его возможного положения дел – путем «мышления» (например, воображая) этого смысла, во время разговора, письма или мыслей об этом предложении (3.11). Витгеншейн связывает использование, смысл, соответствие и истину, говоря «предложение истинно, если мы используем его для того, чтобы сказать о том, что имеет место» (4.062).

Идеи ЛФТ о подлинных (контингенциальных) предложениях и (оригинальная и) основная концепция истины используются для построения теорий логических и математических «предложений» путем противопоставления. Сформулированные отчетливо и прямо, тавтологии, противоречия и математические предложения (т.е. математические уравнения) не истинны и не ложны – мы говорим, что они истинны или ложны, но делая т.о., мы используем слова «истина» и «ложь» совершенно не в том смысле, в каком мы говорили, что контингенциальные предложения истинны или ложны. В отличие от подлинных предложений, тавтологии и противоречия «не имеют «содержания»» (?subject-matter) (6.124), “в них отсутствует смысл” и «они ничего не говорят» о мире (4.461), аналогичным образом математические уравнения являются «псевдо-предложениям» (6.2), которые, будучи «истинными» («корректными»; ‘richtig’ (6.2321)), «всего лишь означают ... эквивалентность значений [“двух выражений”]» (6.2323). С учетом того, что «тавтологии и противоречия являются предельными случаями – на самом деле, их исчезновением – сочетания знаков» (4.466), где «условия соглашения с миром – репрезентативные связи – отменяют друг друга, т.о. что они не состоят ни в какой репрезентативной связи с реальностью», тавтологии и противоречия не описывают реальность или возможные положения дел и возможные факты (4.462). Другими словами, тавтологии и противоречия не имеют смысла, что значит, что мы не можем их использовать для составления высказываний, что в свою очередь значит, что они не могут быть ни ложными, ни истинными. Аналогично, математические псевдо-предложения – это уравнения, которые показывают, что два выражения эквивалентны по значению и поэтому взаимозаменямы. Действительно, мы приходим к математическим уравнениям «методом подстановки»: «начиная с некоторого числа уравнений, мы переходим к новым уравнениям путем подстановки некоторых выражений в соответствии с уравнениями» (6.24). Мы доказываем математические «предложения», полагая их «истинными» («корректными»), «замечая», что два выражения имеют одинаковые значения, которое «должно быть ясно видно по ним самим» (6.23), и замещая одно выражение другим с тем же значением. Подобно тому как «человек может распознать, что [«логические предложения»] истинны из символа самого по себе» (6.113), «возможность доказательства» математических предложений означает, что мы можем воспринимать их корректность без надобности сравнивать того, «что они выражают», с фактами (6.2321; сравните с (RFM App. III, §4)).

Разграничение между контингенциальными предложениями, которые могут использоваться для корректного или некорректного представления частей мира, и математическими предложениями, которые могут быть разрешены в чисто формальной, синтаксической манере, сохраняется у Витгенштейна вплоть до его смерти в 1951 (Zettel §701, 1947; PI II, 2001 Ed., стр. 192-193e, 1949). При данных языковых и символических соглашениях, истинное значение контингенциального предложения – это исключительно функция мира вокруг, тогда как «истинное значение» математического предложения – это целиком функция слагающих его символов и формальной системы, частью которой они являются. Т.о., второй, тесно связанный путь декларирования этого разграничения – это сказать, что математические предложения разрешаются чисто формальным способом (например, вычислениями), в то время как контингенциальные предложения, будучи предложениями о «внешнем» мире, могут быть разрешены, если это вообще можно сделать, путем определения, имеет место или нет конкретный факт (т.е., что-то внешнее для предложения и используемого языка) (2.223; 4.05).

Формальная теория математики в ЛФТ является, в частности, теорией формальных операций. За последние 10 лет теория операций Витгенштейна получила основательную проверку [(Frascolla 1994; 1997), (Marion 1998), (Potter 2000), и (Floyd 2002)], которая интересным образом связала эту теорию и теорию уравнений арифметики ЛФТ с элементами

-исчисления Алонзо Черча (Alonzo Church) и исчислением уравнений Р.Л.Гудштейна (R. L. Goodstein) (Marion 1998, Главы 1, 2, и 4). Если очень кратко, то Витгенштейн определяет: