Словом, и та строгая математическая гармония и тот жесткий порядок, которые царствуют в природе, отнюдь не свойственны ей самой по себе, но в действительности лишь проецируются на внешний мир нашим собственным разумом. Именно и только он предписывает миру все обязательные для исполнения законы.
Мы привели ссылку на Канта как бы в порядке самооправдания, только для того, чтобы показать, что сомнения в абсолютной истинности стереотипного ответа на вынесенный в заглавие вопрос – это вовсе не аберрация сознания, не кульбит софистической мысли, имеющий целью только запутать собеседника. Строго говоря, вопрос о том, почему получаемые чисто аналитическим путем, что говорится, «на кончике пера» математические истины все‑таки подтверждаются нашим опытом, не решен и сегодня. Больше того, решать его, по‑видимому, придется еще не одно столетие. И как бы в подтверждение этого мы видим, что не только сложнейшие, требующие предельного напряжения нашего интеллекта, построения высшей математики, но даже простейшая арифметическая задача обнаруживает сильную зависимость и от каких‑то общих господствующих в совокупном сознании цивилизации идей, и от принятой в обществе методологии систематизации явлений. Оказывается, что вне этого «над‑математического» аппарата даже простейшая арифметическая задачка никакого решения не имеет.
С Кантом спорят и по сию пору. И до сего дня очень многие видят в математике выражение некоторой абсолютной истины, которая кристаллизовала в себе обнаженную до голой схемы структуру самой объективной реальности. Однако и через двести лет с лишком многие соглашаются с ним…
Мы не ставим своей задачей разрешить вопрос о соотношении результатов абстрактных математических построений и реальной структуры окружающего нас мира. Но, не тяготея ни к одной из этих полярных позиций, мы вправе смотреть на математику, как на методологию человеческого познания. Вернее сказать, как на специфическую проекцию какой‑то единой методологии познавательной деятельности человека, ибо математика, разумеется, не исчерпывает эту роль полностью.
Но если так, то любое противоречие тому результату, который прогнозируется ею, должно выступать не только как индикатор ошибки, но и как побудительный стимул к движению в каком‑то новом направлении. Важно понять, что несоответствие результата «сложения» любой заранее затверженной истине – это далеко не всегда ошибка в построениях, не всегда дефект расчета, и способность разглядеть в этом несоответствии ориентир поиска того, «что» именно «будет» в результате такой операции, – представляет собой обязательный элемент квалификации исследователя. Если нет такой способности, нет и настоящего исследователя, есть лишь простой ремесленник.
Кстати, этот вывод остается справедливым, абсолютно независимо от того, что именно мы готовы признать в этой древней науке. Если, вслед за немецким философом (и крупным математиком, кстати, именно Канту принадлежит мысль о том, что в любой науке ровно столько истины, сколько в ней математики) мы ограничим ее только сферой «трансцендентальной эстетики», мы обязаны будем согласиться с тем, что любая количественная аномалия потребует не только перепроверки всех наших логических построений, но и дальнейшего исследования. Если же, напротив, мы увидим в ней отражение не зависящих ни от нашей воли, ни от нашего сознания отношений между явлениями внешнего мира, результат останется тем же самым: мы обязаны будем видеть в любом несоответствии указание не только на тщательную перепроверку выполненной процедуры, но и на необходимость проведения в первую очередь качественного анализа результата.
Словом, методологическая роль математики заключается в том, что, как бы мы ни относились к результату измерения и сопоставления, любая количественная аномалия безупречно выполненного расчета (понятно, что о математических ошибках речи вообще не может быть) должна расцениваться нами как стимул к дальнейшему поиску.
Но если так, то и обнаруживаемые нами противоречия в детстве затверженному выводу требуют своего разрешения, иными словами, обязывают нас продолжить исследование.
Поэтому вернемся к исходному предмету нашего анализа.
Мы видели, что для количественного сравнения разнородных вещей необходимо найти какой‑то объединяющий их круг. Что это значит? Разделяемое многими решение заключается в последовательном восхождении от уровня единичных вещей, обладающих какими‑то индивидуальными особенностями, к более широким обобщениям.
Операция обобщения представляет собой одну из ключевых процедур формальной логики, законам которой обязано подчиняться любое научное исследование. Она предполагает, что в ходе ее строгого и точного выполнения от анализируемых нами явлений последовательно отбрасываются все те отличительные их особенности и характеристики, которые присущи им и только им. Если эта операция выполняется правильно, то в результате должны остаться только те свойства, которые одновременно присущи сразу всем явлениям анализируемого круга. Именно совокупность этих свойств и образует собой содержание какого‑то нового обобщающего понятия.
В схематичном виде ее можно представить следующим образом. Вообразим, что у нас есть три условных объекта (x, y, z) обладающих какими‑то своими условными же характеристиками: x (a, b, c), y (a, c, d), z (b, c, e). Видно, что свойства «a», «b» присущи только двум объектам из трех, свойства «d» и «e» – только одному. Лишь качество «с» присуще сразу всем трем. Таким образом, мы вправе отбросить характеристики «a», «b», «d», «е» и выделить свойство «с» как объединяющее их основание. Именно по основанию «с» и оказывается возможным проводить количественное сравнение всех объектов.
Очерченная здесь интеллектуальная операция имеет большое значение в систематизации нашего мышления. Строго говоря, наука вообще начинается именно с обобщений. Дело в том, что индивидуальные характеристики вещей, процессов, явлений, то есть частные свойства, которые присущи лишь единичным объектам, не являются предметом научного исследования. Задача науки как раз и состоит в том, чтобы выявлять общие законы, правила, принципы. А это всегда абстрагирование от всего единичного.
На первый взгляд, операция обобщения, в том, разумеется, виде, в каком ее зачастую представляют учебные пособия, – это очень несложная и интуитивно понятная процедура. Но в действительности вся ее простота и самоочевидность – не более чем иллюзия обыденного сознания. В сущности точно такая же, как и иллюзия того, что несоответствие когда‑то выученному результату анализируемого нами сложения – это всегда ошибка. Реальная действительность и в этом случае (как, впрочем, и всегда) оказывается не только значительно сложнее, но и куда интересней.
Во‑первых, последовательно отбрасывая все, что составляет отличительные особенности единичных вещей, мы значительно обедняем то, что входит в общий круг нашего познания. Иными словами, познаем вовсе не «живую» действительность, но только сильно упрощенную – а значит, до некоторой степени деформированную – ее модель. Больше того, там, где отбрасываются все индивидуальные свойства и в расчет принимаются только те характеристики, которые одновременно свойственны целому классу вещей, сами вещи попросту исчезают. Остаются лишь некоторые абстрагированные от всего осязательного, конкретного условности. Иначе говоря, не множество живых организмов, каждый из которых отличен от всех других, но какие‑то «одноклеточные», не собрание ярких индивидуальностей, обладающих своим характером, темпераментом, интеллектом, опытом и так далее, но категория солдат, врачей, милиционеров, не пестрота разноликой живности, обитающей рядом с человеком, но род «домашнего скота» и так далее.
Правда, благодаря абстрагированию от индивидуальных особенностей всего единичного и выявлению общих черт, присущих сразу всем явлениям какого‑то класса, появляется возможность обращаться со всеми вещами, объединяемыми по некоторому признаку, как с однородными. А следовательно, появляется возможность проводить с ними все операции количественного сравнения. Но при этом нужно постоянно понимать, что все эти операции проводятся уже не с самими вещами, но с некоторыми замещающими их сущностями, которые вбирают в себя лишь ограниченную часть характеристик, изначально свойственных самим вещам. Так в приведенном примере мы подвергаем количественному сравнению уже не исходные объекты (x, y, z), но не имеющие с ними почти ничего общего абстрактные образования, наделенные свойством «с».
Путь такого восхождения к обобщающим понятиям может продолжаться вплоть до того момента, когда от начальных явлений, вещей, процессов останутся только те пустые и безликие «ниши» нашего сознания, о которых уже говорилось выше.