Н. Г. Чурбанова Москва 2011 г (стр. 1 из 6)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(Государственный Университет)

Факультет Управления и Прикладной Математики

Д И П Л О М Н А Я Р А Б О Т А

на тему: “ Математическое моделирование течений двухфазной слабосжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде ”

Студента гр. 571

Гичяна М.С.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук,

Н. Г. Чурбанова

Москва - 2011 г.

Содержание

Введение……………………………………………………………………...…3

§1. Физическая постановка задачи…...…………………………………5

1. Общий вид модели …………….................................................................5

2. Капиллярное давление и фазовые проницаемости в двухфазном случае………………........................................................................................7

§2. Математическая постановка….....……………………………...…10

1. Использование явных схем для моделирования процесса двухфазной фильтрации……………………………………………………..................10

2.Математическая постановка двухфазной задачи...............................12

2.1 Система уравнений.....................................................................12

2.2 Разрыв среды...............................................................................13

§3. Алгоритм решения…………………………………….………..14

1. Алгоритм решения в случае распространения загрязнения в однородной среде (двумерная область)…................................................14

2.Метод Ньютона...…................................................................................15

3. Алгоритм решения в случае неоднородной среды (двумерная область).......................................................................................................17

2.1 Интерфейсные условия…..........................................................18

2.2 Разбиение расчетной области на группы узлов…..................19

§5. Результаты расчетов...................................................................25

1 . Просачивание пятна загрязнения в однородной среде.......................25

2 . Просачивание пятна загрязнения в среде со слабопроницаемой линзой………………………………………………………………..….….28

Заключение……………………………………………………………………33

Список литературы…………………………………………………......…..34

Введение.

Теория фильтрации, изучающая законы движения жидкостей, газов и их смесей в пористой или трещиноватой среде, имеет обширное практическое применение. Фильтрационные расчеты играют исключительно важную роль при разработке технологий добычи нефти и газа, при проектировании, постройке и эксплуатации гидротехнических и мелиоративных сооружений, в горном деле, в решении экологических проблем. Не теряя своего значения на протяжении многих десятилетий, задачи фильтрации в настоящее время становятся еще более актуальными.

В частности, теорию фильтрации можно применять для моделирования процессов, связанных с загрязнением почвы. Загрязнение почв нефтепродуктами или более плотными веществами относится к числу наиболее опасных, поскольку оно принципиально изменяет свойства почв, а очистка от них очень сильно затруднена. Загрязняющее вещество попадает в почву при различных обстоятельствах: при разведке и добыче нефти, при авариях на нефтепроводах, при авариях речных и морских нефтеналивных судов. Различные углеводороды попадают в почву на нефтебазах, бензозаправках и т.п. Последствия для почв, вызванные загрязнением, можно без преувеличения назвать чрезвычайными. Загрязняющее вещество обволакивает почвенные частицы, почва не смачивается водой, гибнет микрофлора, растения не получают должного питания. Наконец, частицы почвы слипаются, а само вещество постепенно переходит в иное состояние, ее фракции становятся более окисленными, затвердевают, и при высоких уровнях загрязнения почва напоминает асфальтоподобную массу. Бороться с таким явлением очень трудно. При малых уровнях загрязнения помогает внесение удобрений, стимулирующих развитие микрофлоры и растений. В результате нефть частично минерализуется, некоторые ее фрагменты входят в состав гуминовых веществ и почва восстанавливается. Но при больших дозах и длительных сроках загрязнения в почве происходят необратимые изменения. Тогда наиболее загрязненные слои приходится просто удалять.

Настоящая работа посвящена проблеме, связанной с загрязнением почвы. Рассматривается двумерное течение жидкости сквозь пористую среду в вертикальном слое под воздействием силы тяжести. К загрязняющим веществам относятся минеральное топливо, растворители, очищающие средства (такие вещества называются NAPL – от английского Non-Aqueous Phase Liquids) [3]. В зависимости от того, как соотносится плотность вещества с плотностью воды, NAPL разделяются на легкие и плотные (первые называются Light NAPL, или LNAPL, их плотность меньше плотности воды; вторые – Dense NAPL, или DNAPL, соответственно их плотность больше плотности воды). Бензин, например, относится к первому типу, а тетрахлороэтилен – ко второму. Эти жидкости не смешиваются с водой и с газом, поэтому при моделировании их течения в почве говорят о многофазной фильтрации.

В данной работе рассматриваются двухфазная фильтрация слабосжимаемых жидкостей . Первая фаза это вода, которой заполнен в начальный момент резервуар, вторая фаза – более плотная жидкость, которую ниже мы будем называть DNAPL.

В работе было решено несколько тестовых задач. Двумерная задача о просачивани плотной жидкости через слабопроницаемую линзу с различными граничными условиями и мощностями источников DNAPL . Во всех задачах предполагается, что среда гетерогенная, то есть состоит из слоев с разными пористостью и проницаемостью. Так как на границе между разными материалами существует разрыв свойств среды, а именно абсолютной проницаемости и пористости, то на этой границе должны быть поставлены специальные интерфейсные условия для обеспечения физически корректного решения.

Поскольку процесс просачивания не занимает длительного времени и происходит в относительно малом пространстве под воздействием только силы тяжести, при моделировании нужно рассматривать влияние капиллярных эффектов.

Для решения задач подобного типа существует несколько подходов в зависимости от типа уравнений, образующих математическую модель. Традиционные подходы, такие как например IMPES метод, считают фильтрационные жидкости несжимаемыми и система уравнений для моделирования фильтрации в этом случае содержит эллиптическое уравнение для давления. В данной работе жидкости считаются слабосжимаемыми. В этом случае для описания процессов фильтрации обычно используется система уравнений параболического типа. Однако этот тип уравнения имеет достаточно жесткие ограничения на шаг по времени. В работе совершается переход к гиперболической системе уравнений, аналогично работам [5] и [6] , имеющей более мягкие ограничения на временной шаг. Для численной реализации используется явная трехслойная конечноразностная схема.

Основной целью работы является разработка алгоритмов решения задач просачивания в почву со слоистой структурой (разной проницаемости и пористости) и исследование временной эволюции области загрязнения почвы.

§1. Физическая постановка задачи.

1. Модель в общем виде.

Подземные пространства, в которых протекают гидродинамические процессы, представляют собой, как правило, пористые и трещиновато-пористые тела, характеризующиеся сложной системой пор, каналов, трещин, размеры которых малы по сравнению с характерными размерами среды, и по которым может происходить течение жидкости и (или) газа. Течение через такие пористые тела, при котором сила трения флюида (жидкости, газа) о скелет играет определяющую роль, называется фильтрацией. В работе проводится моделирование многофазной фильтрации несжимаемых несмешивающихся жидкостей. Под многофазной фильтрацией понимают совместное течение двух или более жидкостей через пористую среду. Количественной характеристикой пористости служит отношение объема пор к общему объему:

(где m - коэффициент пористости, V_п - объем пор, V – общий объем данного элемента среды).

Фаза – это часть системы, которая является гомогенной (все ее компоненты имеют одинаковые физические и химические свойства). Физические или химические свойства фаз многофазной (гетерогенной) системы различны. Главными характеристиками движения многофазной системы является насыщенность и скорость фильтрации каждой из фаз.

Насыщенностью S_i порового пространства i-ой фазой называется доля объема пор, занятая этой фазой в элементарном объеме:

.

Очевидно, что

. (1.1)

Таким образом, в n-фазной системе имеется (n-1) независимая насыщенность. Поэтому при моделировании двухфазной фильтрации рассматривается лишь одна насыщенность.

Центральную роль в теории фильтрации занимает понятие скорости фильтрации. Скорость фильтрации i-ой фазы в некоторой точке есть вектор

такой, что объем данной фазы, протекающей за единицу времени через ориентированный элемент площади , расположенный в этой точке, включающий как поровое пространство, так и скелет, равен . Другими словами, проекция на некоторое направление равна отношению объемного расхода данной фазы к площадке, перпендикулярной к указанному направлению: