Н. Г. Чурбанова Москва 2011 г (стр. 2 из 6)

.

Предполагается, что справедлив обобщенный закон фильтрации Дарси [4], который для i-ой фазы при учете силы тяжести можно записать в виде:

(1.2)

где k – одна из феноменологичеческих характеристик пористой среды, называемая абсолютной проницаемостью, определяемая по данным о фильтрации однородной жидкости и не зависящая от свойств жидкости; μ_i – коэффициент динамической вязкости фаз; k_i (S_i) – относительные фазовые проницаемости, определяемые экспериментально; P_i – давление в фазах; ρ_i – плотность фаз;

– вектор ускорения свободного падения; S_i – насыщенность данной фазы.

Для изменения со временем насыщенности какой-то фазы при фильтрации можно получить уравнение неразрывности, аналогичное уравнению неразрывности при обычном течении жидкости или газа (вне пористой среды). Рассмотрим некоторый объем Ω пористого тела. Масса флюида в этом объеме есть

Масса флюида изменяется за счет потока флюида через границу ∂Ω, так что

Считаем, что скелет неподвижен, тогда

Получаем

и в силу произвольности объема Ω приходим к уравнению неразрывности

Если пористость m данной среды постоянна, то получаем такие уравнения для насыщенности фаз

(1.3)

Что приводит к классической модели фильтрации многофазной слабосжимаемой жидкости :

где

- плотность флюида, - давление, - скорость фильтрации, Ki и bi - соответственно коэффициенты проницаемости грунта и сжимаемости жидкости

2. Капиллярное давление и относительные фазовые проницаемости в двухфазном случае.

Для задач, связанных с моделированием месторождений, например, при моделировании добычи нефти путём вытеснения водой, где время измеряется годами, а расстояния – километрами, влияние капиллярных сил на распределение давления незначительно и им можно пренебречь. Однако, при малых размерах области фильтрации и малых скоростях фильтрации капиллярные силы могут превзойти внешний перепад давления и их необходимо учитывать [5]. Капиллярные эффекты обусловлены межмолекулярными взаимодействиями двух различных фаз. Эти силы приводят к появлению угла смачивания на границе раздела двух фаз и к разрыву давления на этой границе. Разность фазовых давлений есть так называемое капиллярное давление:

(1.4)

где P₂ – давление несмачивающей фазы, а P₁ – давление смачивающей фазы. Жидкость с краевым углом θ < 90° называется смачивающей жидкостью относительно твердой фазы, а жидкость с краевым углом больше 90° – несмачивающей жидкостью (см. рис. 1).

Рис. 1. Определение понятий смачивающей и несмачивающей фаз

Относительные фазовые проницаемости k_i, присутствующие в формуле (1.2), также обусловлены капиллярностью. Считается, что течение каждой из фаз происходит по своей системе связанных каналов, причем более смачивающая фаза занимает более узкие каналы. Несвязанные части каждой из фаз неподвижны. Из этого ясно, что относительные проницаемости зависят от насыщенностей S_i.

Величина капиллярного давления зависит от степени внедрения вытесняющей жидкости в пористую среду, поэтому капиллярное давление можно считать функцией от насыщенности смачивающей фазы:

где

– насыщенность смачивающей фазы (в данном случае - воды).

Разность давлений двух фаз в одиночном капилляре радиуса r есть

где σ – коэффициент поверхностного натяжения; θ – краевой угол смачивания. По аналогии, с учетом того, что средний размер пор есть

, капиллярную разность давлений записывают в виде [5]:

(1.5)

Функция J(S) называется функцией Леверетта. Она определяется структурой порового пространства и для каждого пористого тела, вообще говоря, своя. Но для группы пород сходного строения она одинакова.

Достаточно хорошие приближения вида зависимости капиллярного давления от насыщенности дают модели Брукса – Кори (Brooks and Corey) и ван Генухтена (van Genuchten). Функция Брукса – Кори имеет вид

, (1.6)

где введена эффективная насыщенность

, (1.7)

где S_wr – остаточная насыщенность смачивающей фазы в данной пористой среде, λ – показатель распределения размеров пор этой среды. В этой модели каждому пористому телу приписывается характеристическое значение P_d, называемое пороговым давлением. P_d – это минимальное капиллярное давление, необходимое для того, чтобы несмачивающая жидкая фаза начала вытеснять смачивающую фазу в соответствующей пористой среде.

Зависимость капиллярного давления от насыщенности в модели ван Генухтена дается уравнением

,

где

, то есть параметрами в этой модели являются α и n. При сравнении с уравнением Брукса – Кори видно, что α обратно пропорционально пороговому давлению P_d. Распределение размеров пор учитывается в параметре n. Большим значениям n соответствует более равномерное распределение, а малым (близким к 1) значениям – менее равномерное. Можно вывести уравнения, связывающие параметры этих двух моделей, но здесь они приводиться не будут.

В данной работе используется модель Брукса – Кори.

Относительные фазовые проницаемости также определяются в соответствии с моделью Брукса – Кори. Их зависимость от насыщенности разная для смачивающей и несмачивающей фаз и имеет вид

(1.8)

где S_e определяется по формуле (1.7).

§2. Математическая постановка.

1.Использование явных схем для моделирования процесса двухфазной фильтрации.

Рассмотрим классическую модель фильтрации однофазной жидкости:

(2.1)

При решении многих задач математической физики существуют минимальные размеры, меньше которых дальнейшая детализация описания уже не имеет смысла. В задачах фильтрации таким размером является величина l, порядок которой составляет несколько десятков диаметров зёрен породы.

Учитывая этот минимальный размер l, в работах [7-8] по аналогии с кинетическими схемами [5] была предложена модель с модифицированным уравнением неразрывности:

(2.2)

где c – величина порядка скорости звука во флюиде.

В отличие от исходной модели, модель с таким уравнением неразрывности позволяет использовать явные схемы с центрально-разностной аппроксимацией конвективного члена

. В работах [7-8] показано, что для одномерной задачи, имеющей точное решение, полученное численное решение практически с ним совпадает .

Заметим, что использование центральных разностей, имеющих второй порядок аппроксимации, дает преимущества при моделировании процесса фильтрации, особенно в геологических пластах сложной структуры. Вместе с тем, также как и для исходной модели, явные схемы для решения системы приводят к жёсткому ограничению (

)на допустимый шаг по времени.