9. случайные процессы и сигналы (стр. 7 из 9)

z(t)×z(t+t) =

h(a)h(b) x(t-a) x(t+t-b) da db.

Если взять математические ожидания от обеих частей этого равенства, то, с учетом соотношения в подынтегральном выражении

M{x(t-a) x(t+t-b)} = -R_x(t-a-t-t+b) = R_x(t+a-b),

получим:

R_z(t) =

h(a)h(b) R_x(t+a-b) da db º R_x(t) ③ h(t+a) ③ h(t-b). (9.3.4)

Таким образом, функция корреляции выходного сигнала равна функции корреляции входного сигнала, свернутой дважды, в прямом и обратном направлении, с импульсным откликом системы, что сохраняет четность корреляционной функции выходного сигнала. Аналогичное заключение действительно и для ковариационных функций.

Заметим, что для свертки импульсных откликов, производя замену t-b = t, мы имеем равенство:

h(t+a) ③ h(t-b) = h(t+a+b) ③ h(t) = h(t) ③ h(t+g) = R_h(t),

где R_h(t) - функция корреляции импульсного отклика системы. Отсюда:

R_z(t) = R_x(t) ③ R_h(t). (9.3.5)

т.е. функция корреляции выходного сигнала равна свертке функции корреляции входного сигнала с функцией корреляции импульсного отклика системы. Это означает появление в случайном сигнале на выходе системы определенной ковариационной зависимости, вызванной инерционностью системы, причем радиус ковариации выходного сигнала обратно пропорционален верхней частоте, пропускаемой системой.

Функции взаимной корреляции входного и выходного сигналов определяются аналогично:

R_zx(t₁,t₂) = T₁[R_x(t₁,t₂)], R_xz(t₁,t₂) = T₂[R_x(t₁,t₂)]. (9.3.6)

Для функции R_xz входного и выходного сигналов имеем:

x(t)×z(t+t) dt = h(a) x(t) x(t+t-a) da dt.

R_xz(t) =

h(a) R_x(t-a) da º R_x(t) ③ h(t-a). (9.3.7)

т.е. функция взаимной корреляции входного и выходного сигналов равна свертке функции корреляции входного сигнала с функцией импульсного отклика системы.

Другая взаимно корреляционная функция R_yx может быть получена из соотношения:

R_zx(t) = R_xz(-t) º R_x(t) ③ h(t+a). (9.3.8)

Отметим, что для статистически независимых случайных величин при одностороннем импульсном отклике h(t) = 0 при t<0 функция R_xz(t) также является односторонней, и равна 0 при t<0, а функция R_zx соответственно равна 0 при t>0.

Спектральные соотношения, которые характеризуют систему в целом по отношению к преобразованию случайных сигналов, это соотношения спектральных плотностей случайных сигналов (спектров мощности) на входе и выходе.

Применяя преобразование Фурье к выражениям (9.3.5), для спектра мощности выходного сигнала получаем:

S_z(f) = S_x(f) |H(f)|². (9.3.9)

Спектр мощности случайного сигнала на выходе системы равен спектру мощности входного сигнала, умноженному на квадрат модуля частотной характеристики фильтра. С учетом четности ковариационных функций спектр мощности выходного сигнала также является четной действительной функцией и содержит только амплитудную характеристику системы.

Аналогично, для взаимного спектра мощности сигналов на основе выражений (9.3.7-8) имеем:

S_xz(f) = S_x(f) H(f), S_zx(f) = S_x(f) H(-f). (9.3.10)

Взаимный спектр сигналов при одностороннем импульсном отклике является комплексным, и содержит как амплитудную, так и фазовую характеристику системы.

Отметим, что с использованием выражения (9.3.10) можно производить определение частотной характеристики и импульсного отклика системы:

H(f) = S_xz/S_x Û h(t).

Дисперсия выходного сигнала может быть определена с использованием формул (9.3.4, 9) по функциям ковариации:

s_z² = K_z(0) =

S_x(f) |H(f)|² df º K_x(0) h²(t) dt = s_x² h²(t) dt, (9.3.11)

Если сигнал нецентрированный и значение дисперсии входного сигнала неизвестно, то по аналогичным формулам вычисляется сначала средний квадрат выходного сигнала или так называемая средняя мощность сигнала:

= = R_z(0) º h²(t) dt º S_x(f) |H(f)|² df. (9.3.12)

Средняя мощность выходного сигнала равна средней мощности входного сигнала, умноженной на квадрат площади импульсной реакции системы (для цифровых систем - сумму квадратов коэффициентов импульсного отклика). Для центрированных случайных сигналов средняя мощность равна дисперсии сигналов. Для нецентрированных выходных сигналов:

s_z² =

- ² º ( - ²) h²(t) dt. (9.3.13)

Функция когерентности дает оценку точности принятой линейной модели системы. Когерентность входного и выходного сигналов системы оценивается по формуле:

g_xz²(f) = |S_xz(f)|²/[S_x(f)×S_z(f)]. (9.3.14)

Если функции S_x(f) и S_z(f) отличны от нуля и не содержат дельта-функций, то для всех частот f значения функции когерентности заключены в интервале:

0 £ g_xz²(f) £ 1.

Для исключения дельта-функций на нулевой частоте определение функции когерентности производится по центрированным сигналам. Для линейных систем с постоянными параметрами функция когерентности равна 1, в чем нетрудно убедиться, если в формулу (9.3.14) подставить выражения S_xz и S_z, определенные через S_x в формулах (9.3.9-10). Для совершенно не связанных сигналов функция когерентности равна нулю. Промежуточные между 0 и 1 значения могут соответствовать трем ситуациям:

1. Система осуществляет преобразование x(t) Þ z(t), но в измерениях этих сигналов или одного из них присутствует внешний шум. Так, например, в сигналах, зарегистрированных с ограничением по разрядности, появляется шум квантования (округления значений).

2. Система не является строго линейной. Это может наблюдаться, например, при определенном ограничении по разрядности вычислений в цифровых системах, при накоплении ошибки в рекурсивных системах и т.п.

3. Выходной сигнал z(t) помимо x(t) зависит еще от каких-то входных или внутренних системных процессов.

Величина 1-g_xz²(f) задает долю среднего квадрата сигнала z(t) на частоте f, не связанную с сигналом x(t).

Аналогично можно вычислить функцию когерентности двух реализаций x(t) и y(t). Значения функции будут указывать на степень линейной зависимости одной реализации от другой, хотя это и не означает обязательности наличия какой-либо причинно-следственной связи между реализациями. Функция когерентности g_xy сохраняется при точных однотипных линейных преобразованиях функций x(t) и y(t), что позволяет производить ее определение без измерения самих величин x(t) и y(t).

Преобразования случайных функций.

Сложение случайных функций. При сложении случайных функций, в общем случае, с произвольными постоянными коэффициентами а и b, и образовании случайной функции суммы Z(t) = a×X(t) + b×Y(t), функция математического ожидания процесса Z(t):

m_z(t)= M{Z(t)}= M{aX(t)+bY(t)}= a×M{X(t)}+b×M{Y(t)}= a×m_x(t)+b×m_y(t). (9.3.15)

Корреляционная функция суммы вычисляется аналогично, и равна:

R_z(t₁,t₂) = M{Z(t₁)×Z(t₂)}= M{[aX(t₁)+bY(t₁)][aX(t₂)+bY(t₂)]}=

= M{a²X(t₁)X(t₂)+b²Y(t₁)Y(t₂)+×ab[X(t₁)Y(t₂)+Y(t₁)X(t₂)]} =

= a²R_x(t₁,t₂)+b²R_y(t₁,t₂)+ab×[R_xy(t₁,t₂)+R_yx(t₁,t₂)]. (9.3.16)

Для некоррелированных функций X(t) и Y(t) функции взаимной корреляции R_xy и R_yx обнуляются. Аналогичную форму записи имеют и ковариационные функции (как частный случай корреляционных функций при центрировании случайных процессов). Выражения легко обобщаются на сумму любого числа случайных функций. В частности, для корреляционной функции стационарной случайной функции Z(t) =

a_iX_i(t) при t₂-t₁ = t имеем:

R_z(t) =

a_i²R_xi(t) + a_ia_jR_xixj(t). (9.3.16')