9. случайные процессы и сигналы (стр. 5 из 9)

x_k(t) =

V_x,k(w_i) exp(jw_it), (9.2.12)

V_x,k(w_i) = (1/T)

x_k(t) exp(-jw_it) dt, (9.2.13)

или, в односторонней тригонометрической форме:

x_k(t) = A_x,k(0) + 2

(A_x,k(w_i) cos(w_it) + B_x,k(w_i) sin(w_it)), (9.2.12')

A_x,k(w_i) = (1/T)

x_k(t) cos(w_it) dt, (9.2.13')

B_x,k(w_i) = (1/T)

x_k(t) sin(w_it) dt. (9.2.13'')

где w_i = i×Dw - частоты спектра, Dw = 2p/T - шаг по частоте. Выражения (9.2.13) обычно называют спектральными характеристиками реализаций. Из сравнения выражений (9.2.4) и (9.2.12) нетрудно сделать заключение, что выражения (9.2.12) относится к числу канонических разложений случайных функций, при этом спектральная характеристика V_x,k(w), а равно и ее составляющие A_x,k(w) и B_x,k(w), также являются случайными функциями частоты - единичными реализациями случайных функций V_x(w), A_x(w) и B_x(w). Соответственно, и частотное распределение амплитуд и фаз составляющих гармонических колебаний случайного процесса ⁰X(t) представляет собой случайные функции с соответствующими неслучайными функциями дисперсий.

Если функция ⁰X(t) является дискретной последовательностью случайных величин ⁰X(n×Dt) в интервале по n от 0 до N, то, как это и положено для дискретных преобразований Фурье, расчет спектральных характеристик выполняется в Главном частотном диапазоне (до частоты Найквиста w_N = p/Dt), с заменой в выражениях (9.2.13) интегрирования на суммирование по n и с соответствующим изменением пределов суммирования в выражениях (9.2.12). Данное пояснение сохраняется и на все дальнейшие выкладки.

Спектральные характеристики единичных реализаций случайных процессов интереса, как правило, не представляют, и на практике используются довольно редко. Спектральная характеристика случайной функции ⁰X(t), как ансамбля реализаций, может быть определена осреднением функций (9.2.12-13) по реализациям, в результате которого мы получим те же самые функции (9.2.12-13), только без индексов k. При этом, в силу центрированности стационарной случайной функции ⁰X(t), мы должны иметь:

M{X(t)} =

M{V_x(w_i)} exp(jw_it) = 0, (9.2.14)

Последнее будет выполняться при условии M{V_x(w_i)} = 0, т.е. математическое ожидание значений спектральной характеристики центрированного стационарного случайного процесса должно быть равно нулю на всех частотах. Другими словами, спектральной характеристики центрированного стационарного случайного процесса не существует. Существуют только спектральные характеристики его отдельных реализаций, которые и используются, например, для моделирования этих реализаций.

Для произвольных нецентрированных случайных процессов X(t), при записи последних в форме X(t) = m_x(t) + ⁰X(t), будем соответственно иметь преобразование Фурье:

m_x(t) + ⁰X(t) - m_x(w) + V_x(w) = m_x(w),

т.е., по существу, функцию спектра (или спектральной плотности) неслучайной функции математического ожидания случайного процесса, естественно, в пределах той точности, которую может обеспечить выборочный ансамбль реализаций. Это лишний раз подтверждает отсутствие в спектрах случайных процессов какой-либо информации о флюктуационной составляющей процессов, и говорит о том, что фазы спектральных составляющих в реализациях процесса являются случайными и независимыми.

С учетом вышеизложенного, под спектрами случайных процессов (или спектральной плотностью при интегральном преобразовании Фурье) повсеместно понимается не преобразования Фурье собственно случайных функций, а преобразования Фурье функций мощности случайных процессов, поскольку функции мощности не зависят от соотношения фаз спектральных составляющих процессов.

Спектры мощности случайных функций определяются аналогично спектрам мощности детерминированных сигналов. Средняя мощность случайного процесса X(t), зарегистрированного в процессе одной реализации на интервале 0-Т, с использованием равенства Парсеваля может быть вычислена по формуле:

W_T =

[x²(t)/T] dt = [|X_T(f)|²/T] df,

где X(f) – спектральная плотность единичной реализации x(t). При увеличении интервала Т энергия процесса на интервале неограниченно нарастает, а средняя мощность стремится к определенному пределу:

W =

[ |X_T(f)|²] df,

где подынтегральная функция представляет собой спектральную плотность мощности данной реализации случайного процесса:

W(f) =

|X_T(f)|². (9.2.15)

Очень часто это выражение называют просто спектром мощности. Плотность мощности является вещественной, неотрицательной и четной функцией частоты. В общем случае, плотность мощности необходимо усреднять по множеству реализаций, но для эргодических процессов допустимо усреднение по одной достаточно длительной реализации.

Теорема Винера-Хинчина. Рассмотрим сигнал q(t), представляющий собой одну реализацию случайного стационарного эргодического процесса длительностью Т. Для сигнала q(t) может быть определен спектр Q(w). Если сдвинуть на t реализацию процесса, то получим спектр Q(w)exp(jwt). Для вещественных сигналов Q(w) = Q*(w) равенство Парсеваля по энергии взаимодействия двух сигналов

x(t) y*(t) dt = X(f) Y*(f) df (9.2.16)

может быть записано в следующей форме:

q(t)q(t+t) dt = (1/2p) Q(w)Q*(w) exp(jwt) dw. (9.2.17)

Поделим обе части данного равенства на Т и перейдем к пределу при Т Þ ¥, при этом в его левой части мы увидим выражение для функции корреляции, а в правой части - преобразование Фурье спектра мощности сигнала:

q(t)q(t+t) dt = |Q(w)|² exp(jwt) dw, (9.2.18)

R(t) = (1/2p)

W(w) exp(jwt) dw. (9.2.19)

Отсюда следует, что корреляционная функция случайного стационарного эргодического процесса представляет собой обратное преобразование Фурье его спектра мощности. Соответственно, для спектра мощности случайного процесса имеем прямое преобразование Фурье:

W(w) =

R(t) exp(-jwt) dt. (9.2.20)

В этом состоит суть теоремы Винера-Хинчина. Функции W(w) и R(t) являются вещественными и четными, а соответственно в тригонометрической форме:

R(t) = 2

W(f)cos(2pft) df, W(f) = 2 R(t)cos(2pft) dt.

Спектр ковариационных функций. Так как ковариационные функции стационарных процессов являются частным случаем корреляционных функций, то эти выражения действительны и для ФАК, а, следовательно, преобразования Фурье ковариационных функций, являются спектрами мощности флюктуирующей составляющей процессов. С этих позиций дисперсия случайных процессов представляет собой среднюю мощность его флюктуаций

K(t=0) = s² = (1/2p)

W(w) dw,

т.е., равна суммарной мощности всех его частотных составляющих процессов.

При представлении ковариационной функции на интервале 0-Т, шаг по спектру функции с учетом четности ковариационной функции устанавливается равным Dw = p/T, w_i = i×Dw, а спектр определяется обычно непосредственно по косинусам в односторонней форме:

K_x(t) = D_x(0)/2 +

D_x(w_i) cos(w_it), (9.2.21)

D_x(w_i) = (2/T)

K_x(t) cos(w_it) dt, (9.2.22)

где D_x(w_i) в соответствии с (9.2.5) - дисперсии случайных величин V_x(w_i), а равно и A_x(w_i) и B_x(w_i), в разложениях (9.2.12). В комплексной форме, как обычно:

K_x(t) =

D_x(w_i) exp(jw_it), (9.2.23)

D_x(w_i) = (2/T)

K_x(t) exp(-jw_it) dt, (9.2.24)

Рис. 9.2.1. Спектры случайных функций.

Спектры ковариационных функций всегда ограничены (D(w) ¹ ¥) и неотрицательны (D(w) ³ 0), при двустороннем представлении всегда четные (D(-w) = D(w)). Пример спектров в одно- и двустороннем представлении приведен на рис. 9.2.1.