9. случайные процессы и сигналы (стр. 3 из 9)

В терминах теории вероятностей ковариационная функция является вторым центральным моментом случайного процесса. Для центрированных случайных процессов ФАК тождественна функции автокорреляции. При произвольных значениях m_x ковариационные и корреляционные функции связаны соотношением:

K_X(t, t+t) = R_X(t, t+t) - m_x²(t).

Нормированная функция автоковариации (функция корреляционных коэффициентов):

r_Х(t,t+t) = K_X(t,t+t)/[s(t)s(t+t)]. (9.1.9)

Функция корреляционных коэффициентов может принимать значения от +1 (полная статистическая корреляция случайных процессов на интервалах t и t+t) до -1 (полная статистическая противоположность процессов на этих интервалах). Попутно отметим, что в математической статистике, а также довольно часто и в технической литературе, эту функцию называют функцией корреляции. При t = 0 значение r_Х равно 1, а ФАК вырождается в дисперсию случайного процесса:

K_X(t) = D_X(t).

Отсюда следует, что для случайных процессов и функций основными характеристиками являются функции математического ожидания и корреляции (ковариации). Особой необходимости в отдельной функции дисперсии не имеется.

Рис. 9.1.7. Реализации и ковариационные функции случайных процессов.

Примеры реализаций двух различных случайных процессов и их нормированных ковариационных функций приведены на рис. 9.1.7.

Свойства функций автоковариации и автокорреляции.

1. Максимум функций наблюдается при t = 0. Это очевидно, т.к. при t = 0 вычисляется степень связи отсчетов с собой же, которая не может быть меньше связи разных отсчетов. Значение максимума функции корреляции равно средней мощности сигнала.

2. Функции автокорреляции и автоковариации являются четными: R_X(t) = R_X(-t). Последнее также очевидно: X(t)X(t+t) = X(t-t)X(t) при t = t-t. Говоря иначе, моменты двух случайных величин X(t₁) и X(t₂) не зависят от последовательности, в которой эти величины рассматриваются, и соответственно симметричны относительно своих аргументов: R_x(t₁, t₂) = R_x(t₂, t₁).

3. При t Þ ¥ значения ФАК для сигналов, конечных по энергии, стремятся к нулю, что прямо следует из физического смысла ФАК. Это позволяет ограничивать длину ФАК определенным максимальным значением t_max - радиусом корреляции, за пределами которого отсчеты можно считать независимыми. Интегральной характеристикой времени корреляции случайных величин обычно считают эффективный интервал корреляции, определяемый по формуле:

T_k =

|r_x(t)| dt º (1/K_x(0)) |K_x(t)| dt. (9.1.10)

Отсчеты (сечения) случайных функций, отстоящие друг от друга на расстояние большее T_k, при инженерных расчетах считают некоррелированными.

4. Если к случайной функции X(t) прибавить неслучайную функцию f(t), то ковариационная функция не изменяется. Обозначим новую случайную функцию как Y(t)=X(t)+f(t). Функция математического ожидания новой величины:

= + f(t). Отсюда следует, что Y(t) - = X(t) - , и соответственно K_y(t₁,t₂) = K_x(t₁,t₂).

5. Если случайную функцию X(t) умножить на неслучайную функцию f(t), то ее корреляционная функция R_x(t₁,t₂) умножится на f(t₁)×f(t₂). Обоснование данного свойства проводится по методике, аналогичной предыдущему пункту.

6. При умножении функции случайного процесса на постоянное значение С значения ФАК увеличиваются в С² раз.

Взаимные моменты случайных процессов второго порядка дают возможность оценить совместные свойства двух случайных процессов X(t) и Y(t) путем анализа произвольной пары выборочных функций x_k(t) и y_k(t).

Мера связи между двумя случайными процессами X(t) и Y(t) также устанавливается корреляционными функциями, а именно - функциями взаимной корреляции и взаимной ковариации. В общем случае, для произвольных фиксированных моментов времени t₁ = t и t₂ = t+t:

R_XY(t, t+t) = M{X(t)Y(t+t)}. (9.1.11)

K_XY(t, t+t) = M{(X(t)-m_x(t))(Y(t+t)-m_y(t+t))}. (9.1.12)

Взаимные функции являются произвольными функциями, не обладают свойствами четности или нечетности, и удовлетворяют следующим соотношениям:

R_xy(-t) = R_yx(t), (9.1.13)

|R_xy(t)|² £ R_x(0)R_y(0).

Если один из процессов центрированный, то имеет место R_xy(t) = K_xy(t).

Нормированная взаимная ковариационная функция (коэффициент корреляции двух процессов) характеризует степень линейной зависимости между случайными процессами при данном сдвиге t одного процесса по отношению ко второму и определяется выражением:

r_xy(t) = K_xy(t)/(s_xs_y). (9.1.14)

Статистическая независимость случайных процессов определяет отсутствие связи между значениями двух случайных величин X и Y. Это означает, что плотность вероятности одной случайной величины не зависит от того, какие значения принимает вторая случайная величина. Двумерная плотность вероятностей при этом должна представлять собой произведения одномерных плотностей вероятностей этих двух величин:

p(x,y) = p(x) p(y).

Это условие является обязательным условием статистической независимости случайных величин. В противном случае между случайными величинами может существовать определенная статистическая связь, как линейная, так и нелинейная. Мерой линейной статистической связи является коэффициент корреляции:

r_xy = [M{X·Y} – M{X}·M{Y}]/

.

Значения r_xy могут изменяться в пределах от -1 до +1. В частном случае, если случайные величины связаны линейным соотношением x=ay+b, коэффициент корреляции равен ±1 в зависимости от знака константы а. Случайные величины некоррелированы при r_xy=0, при этом из выражения для r_xy следует:

M{X·Y} = M{X}·M{Y}.

Из статистической независимости величин следует их некоррелированность. Обратное не очевидно. Так, например, случайные величины x=cos j и y=sin j, где j - случайная величина с равномерным распределением в интервале 0…2p, имеют нулевой коэффициент корреляции, и вместе с тем их зависимость очевидна.

Классификация случайных процессов. Случайные процессы различают по степени однородности их протекания во времени (по аргументу). Кроме моментов первого и второго порядка случайные процессы имеют моменты и более высоких порядков. По мере повышения порядка моментов вероятностная структура случайных процессов и их выборочных реализаций описывается все более детально. Однако практическая оценка этих моментов по выборкам ограничена, в основном, только стационарными случайными процессами.

Стационарные процессы. Процесс называют стационарным (более точно – слабо стационарным), если плотность вероятностей процесса не зависит от начала отсчета времени и если на интервале его существования выполняются условия постоянства математического ожидания и дисперсии, а корреляционная функция является функцией только разности аргументов t = t₂-t₁, т.e.:

m_Х(t₁) = m_Х(t₂) = m_Х = const, (9.1.15)

D_Х(t₁) = D_Х(t₂) = D_Х = const,

R_X(t₁, t₁+t) º R_x(t₂-t, t₂) = R_Х(t) º R_Х(-t),

r_x(t) = R_x(t)/D_x, r_x(0) = 1, |r_x(t)| ≤ 1, r_x(-t) = r_x(t).

Последние выражения свидетельствует о четности корреляционной (а равно и ковариационной) функции и функции корреляционных коэффициентов. Из него вытекает также еще одно свойство смешанных моментов стационарных процессов:

|R_x(t)| £ R_x(0), |K_x(t)| £ K_x(0) º D_x.

Чем медленнее по мере увеличения значений t убывают функции R_x(t) и r_x(t), тем больше интервал корреляции случайного процесса, и тем медленнее изменяются во времени его реализации.

Если от времени не зависят и моменты более высоких порядков (в частности, асимметрия и эксцесс), то такой процесс считается строго стационарным. В общем случае класс строго стационарных процессов входит в класс слабо стационарных. И только в случае гауссовых случайных процессов слабая стационарность автоматически влечет строгую, поскольку все характеристики этих процессов определяются средним значением и корреляционной функцией.

Стационарные случайные процессы наиболее часто встречаются при решении физических и технических задач. Теория стационарных случайных функций разработана наиболее полно. Случайные процессы, удовлетворяющие условиям стационарности на ограниченных, интересующих нас интервалах, также обычно рассматривают в классе стационарных и называют квазистационарными.

Нестационарные процессы. В общем случае значения функций математического ожидания, дисперсии и корреляции могут быть зависимыми от момента времени t, т.е. изменяться во времени. Такие процессы составляют класс нестационарных процессов.