Г. П. Прокопов Контроль энтропии в алгоритмах и расчетах газодинамических течений (стр. 2 из 8)
Назначение параметров газа (R,U,P,E)j на границах ячейки для вычисления векторов потока Fj (в методе Годунова они назывались «большими» величинами) определяется значениями U, D1, D2.
В случае U³0: при D1³0 эти параметры равны параметрам в зоне 1, а при D1<0 – параметрам в зоне 3.
В случае U<0: при D2£0 – параметры равны их значениям в зоне 2, а при D2>0 – параметрам в зоне 4.
Определяющую роль играет назначение массовых скоростей а1, а2 . Для этой цели предлагается использовать формулы:
(1.8)
Присутствующие в них величины с1,с2 представляют скорости звука, определяемые уравнением состояния. Для идеального газа (1.4) они вычисляются по формулам:
(1.9)
, 
По утверждению [4], такое назначение массовых скоростей а1, а2 обеспечивает отсутствие осцилляций на разрывах при произвольных физических параметрах в соседних ячейках разностной сетки.
Пока ограничимся этим описанием схемы С и перейдем к ее исследованию.
§ 2. Энтропийное исследование схемы С.
Итак, одним из принципиальных элементов конструирования схемы С является замена волны разрежения на фронт разрыва.
Напомним, что, как отмечалось в [1], в монографии [2] на стр.115-116 была рассмотрена в качестве примера задача о распаде разрыва с симметричными данными относительно границы раздела. Если в ней заменить возникающую волну разрежения фронтом разрыва, на котором будут выполняться соотношения (1.6), то при этом реализуется так называемая ударная волна разрежения. А ее следует запрещать как нарушающую постулат о неубывании энтропии.
В схеме С сначала «волевым» образом по формулам (1.8) назначаются массовые скорости а1, а2, а затем, исходя из тех же соотношений на разрыве, производится вычисление параметров, характеризующих состояние газа на разрыве. Поскольку на этом процесс их назначения заканчивается, говорить о реализации ударного фронта разрежения нет оснований. Но в каком случае можно полученный результат считать разумным и допустимым?
Предлагается постулировать следующее положение: газ с вычисленными параметрами, определяющими величины потоков через разрыв, должен иметь энтропию, не меньшую, чем второй (исходный, «напарник») газ, участвующий в вычислении потоков.
Представляется, что только такое требование позволит контролировать неоправданное и скрытое занижение энтропии в газодинамических расчетах. Назовем его «жестким контролем энтропии».
Более просто было бы, например, ограничиться вычислением и контролем энтропии в ячейках сетки на верхнем слое по времени. Однако тогда, в соответствии с формулой (1.5), появляется возможность компенсировать «потери энтропии» в одном узле сетки за счет другого. Поэтому назовем его «мягким контролем энтропии». Нарушение его создает возможность конструирования, по крайней мере, «патологических» примеров недопустимых течений. Но отсюда недалеко и до возможности реализации таких ситуаций и в практических расчетах.
Если согласиться с провозглашенным постулатом, то следующим шагом исследования должен быть вопрос: обеспечивает ли назначение массовых скоростей (1.8) его выполнение для рассматриваемой схемы С?
Это исследование будем проводить на уже упомянутом упрощенном примере распада разрыва с симметричными данными. Итак, пусть:
(2.1)
, 
, 
, 
.Поскольку два газодинамических параметра можно задавать независимо, можно было бы упростить формулы, полагая
, 
. Мы сознательно не будем этого делать, чтобы не потерять возможности контролировать их с точки зрения размерности. Тогда в задаче остается один свободный параметр u* (если не считать показателя адиабаты g в уравнении состояния (1.4), которым мы пока ограничиваемся). Отметим, что в качестве аналитического решения этой газодинамической задачи при u*>0 (встречные потоки) реализуются ударные волны, а при u*<0 (разбегающиеся потоки) – волны разрежения. Они распространяются симметрично от границы раздела.Благодаря симметрии (2.1) расчетные формулы (1.7)-(1.9) принимают более простой вид:
(2.2)
, 
(2.3)
(2.4)
(2.5)
В соответствии с назначением, описанным вслед за формулами (1.7), для «больших» величин в узле, которые обозначим R, E, получаем:
(2.6)
Вот теперь приступаем к исследованию энтропии. Обычно для этого привлекается энтропийная функция
. Практически будет удобнее работать с величиной 
.Заметим, что именно эта величина, с точностью до множителя сv (удельная теплоемкость при постоянном удельном объеме), принималась за «настоящую» энтропию (см. [5], стр.33). Она остается постоянной вдоль адиабаты Пуассона. Поэтому, чтобы не вводить новых обозначений, полагаем, что
(2.7)
, 
Условие ее неубывания принимает вид:
(2.8)
Следовательно, из формул (2.4),(2.6) и (2.2) получаем:
(2.9)
Введя безразмерный параметр
и с учетом (2.3) получаем:(2.10)
Проанализируем полученную формулу сначала для случая m<0.
Тогда
и формула (2.10) приобретает вид:(2.11)
.Ее производная определяется формулой:
(2.12)
В точке m=0 имеем
. Производная 
на интервале 
. Для значений 
функция не определена. 
имеет вертикальную асимптоту при 
.Стоит заметить, что в появлении
«виновата», конечно, формула для давления (2.4): при 
получалось бы Р<0.Теперь обратимся к случаю m>0.
Поскольку тогда
, формула (2.10) приобретает вид:(2.13)
.Ее производная определяется формулой:
(2.14)
После несложных преобразований эта формула приводится к виду: