«Преобразование Хартли. Теория и приложения» (стр. 1 из 5)

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

Уральский государственный горный университет

Институт геологии и геофизики Кафедра геоинформатики

620144 , г. Екатеринбург, ул. Куйбышева, 30

Тел. (343) – 2576661. E-mail: Pisetski@hotmail.com

РЕФЕРАТ

Преобразование Хартли

Краткое содержание работы Р. Брейсуэлла

«Преобразование Хартли. Теория и приложения», М: Мир, 1990.

Курс: Теория цифровой обработки данных

Выполнила: Балаева Л.А.

E-mail: balaeva-lydmila@yandex.ru

Руководитель: проф. Давыдов А.В.

E-mail: prodav@yandex.ru

Содержание.

1. Введение.

2. Преобразование Хартли.

2.1. Четная и нечетная составляющие.

2.2. Формулы связи.

2.3. Энергетический и фазовый спектры.

3. Теоремы.

3.1. Соответствие операций.

3.2. Свертка.

4. Дискретное преобразование Хартли.

4.1. Физический смысл величин τ и ν.

4.2. Чётная и нечётная составляющие.

4.3. Степени свободы.

4.4. Другие вещественные ядра.

4.5. Теоремы, связанные с ДПХ.

4.6. Выводы по ДПХ.

5. Заключение.

Без сохранения форматирования исходного документа

Екатеринбург

2005

Введение.

Преобразование Хартли, как и преобразование Фурье, может применяться для спектрального анализа и различных видов обработки сигналов. Данный вид преобразования назван в честь Р. Хартли, опубликовавшего в 1942 г. статью о паре интегральных преобразований - прямом и обратном, использующих введенную им функцию

. До начала 1980-х годов эти результаты оставались в забвении, пока к ним не привлек внимание исследователей Р. Брейсуэлл, разработавший основы теории как непрерывного, так и дискретного преобразования Хартли, а также один из вариантов его быстрого преобразования.

Непрерывный прогресс в области обработки информации связан с задачами всевозрастающей сложности. Обращение к преобразованию Хартли обусловлено ситуацией, сложившейся в ряде методов обработки информации, в частности использующих вещественные последовательности данных (одномерных и двумерных). Обработку таких данных желательно осуществлять в области вещественных чисел с помощью взаимно симметричных прямого и обратного преобразований. В отличие от преобразования Фурье, отображающего вещественные функции в комплексную область и несимметричного по i (происходит изменение знака при переходе от прямого к обратному преобразованию), преобразование Хартли осуществляет прямое и обратное преобразования только в вещественной области и обладает указанной симметрией.

В своём реферате я постараюсь изложить на основе теории и практических примеров некоторые основные аспекты преобразования Хартли.

Эта тема является актуальной, так как в настоящее время преобразование Хартли находит широкое применение при разработке двумерных и трехмерных быстрых преобразований, быстрых алгоритмов интерполяции и т.д.

Хартли ввел пару формул.

.

В этих соотношениях для функции cas мы будем следовать определению автора, в соответствии с которым эта функция представляет собой сумму косинуса и синуса одного и того же аргумента cas t = cos t + sin t.

2. Преобразование Хартли.

В определение Хартли для преобразования y (w) в явном виде был включен коэффициент 1/

для получения симметричного выражения. Если опустить этот коэффициент, то оба интеграла одновременно не могут быть корректными. Однако следует признать нецелесообразным сохранение пары таких специфических коэффициентов, особенно при выполнении численных расчетов. Многие авторы отреагировали на подобную ситуацию применительно к преобразованию Фурье рассмотрением функции S(w) вместо S(w).В результате коэффициент 1/ исчезает в определении прямого преобразования Фурье, однако в формуле обратного преобразования Фурье появляется коэффициент 1/2p. Таким образом, эти авторы намеренно жертвуют симметрией формул. Справедливо замечание, что это дополнительная нагрузка для памяти, так как приходится запоминать, какая из формул содержит величину 2p .Один способ запоминания состоит в том, что коэффициент 1/2p стоит перед интегралом, в котором фигурирует дифференциал dw, что означает наличие величины вида w/2p , т. е. циклической частоты f. Отсюда естественно возникает вопрос: почему непосредственно не иметь дело с частотой? Именно к этому выводу в течение многих лет склонялось мнение разных исследователей. Приверженцев использования коэффициента 1/ в настоящее время практически уже нет, тогда как имеется достаточное количество сторонников правомерности записи dw/2p; но общепринятой практикой является применение множителя 2p под знаком экспоненты в интегралах для прямого и обратного преобразований. Данная процедура реализуется автоматически при использовании частоты вместо угловой частоты w. При этом имеем

2.1.Четная и нечетная составляющие.

Взаимосвязь преобразований Фурье и Хартли базируется на анализе свойства симметрии. Для пояснения этого представим

в виде четной и нечетной компонент и соответственно. Четная компонента определяется как полусумма функции и ее зеркального изображения, т.е. функции . Нечетная компонента определяется как полуразность этих функций и обладает свойством антисимметрии, а именно . Любая функция может быть представлена однозначно в виде суммы четной и нечетной компонент, и, обратно, при заданных четной и нечетной компонентах однозначно может быть восстановлена исходная функция. Одним из интересных свойств четной и нечетной компонент является равенство суммы их энергий энергии самого процесса.

Для установления связи преобразования

с преобразованием Фурье функции примем следующее определение.

Пусть

где и - соответственно четная и нечетная составляющие функции . Тогда

Эти два интеграла известны под названиями соответственно косинус- и синус-преобразование Фурье.

Для иллюстрации чётной и нечётной составляющей рассмотрим ряд примеров:

Пример №1. Рассмотрим функцию вида

, которая в момент времени t = 0 имеет единичный скачок, а затем монотонно убывает по экспоненциальному закону. В данном выражении фигурирует единичная ступенчатая функция Хевисайда H(t), которая определяется следующим образом:

Заметим, что значение функции

, т. е. при t = 0, не определено. Причина этого заключается в следующем. Рассмотрим две функции и , которые совпадают с при , но в отличие от определены при t = 0. Пусть Н_а(0) = а и Н_ь(0) = b. Тогда разность - представляет собой нулевую функцию. Поскольку рассматриваются интегралы, на их величину не влияет выбор какого-либо определенного конечного значения Н(0).