«Преобразование Хартли. Теория и приложения» (стр. 4 из 5)
Пример дискретного прямого и обратного преобразования Хартли:
4.1.Физический смысл величин τ и ν.
Переменная τ интерпретируется как время, а дискретная переменная ν - как частота; однако следует помнить две особенности. Если в качестве единицы времени t принята секунда, т. е. временной интервал между последовательными элементами временного ряда
равен 1 с, то частота равна ν /N [Гц], а не ν, следовательно, частотный интервал между соседними элементами последовательности H(v) равен 
[Гц]. По мере увеличения ν возрастает соответствующая частота, но только до значения ν = N/2; при дальнейшем росте величины ν соответствующая ей частота становится равной (N - ν)/N, обращаясь в нуль при ν = N. 4.2.Чётная и нечётная составляющие.
Как в случае непрерывного преобразования, ДПХ имеет чётную и нечетную компоненты
,однако должны быть высказаны некоторые соображения в отношении определений в силу принятого ограничения диапазона изменения ν от 0 до N - 1. Общепринятый способ учета этого ограничения заключается в присвоении функции вне области ее определения таких значений, чтобы сформировать циклическую (периодическую) функцию с периодом N. Таким образом, для ν = -1 мы присваиваем функции значение H(N - 1), так как ν = -1 и ν = N - 1 разделены периодом длины N. В общем случае будем присваивать функции Н(-ν), где -N
ν -1, значения H(N-ν) для которых независимая переменная заключена в основном диапазоне изменения ν. С помощью данной процедуры мы приходим к более простому соотношению между ν и частотой: можно сказать, что ν/N представляет собой не что иное, как частоту в герцах в диапазоне -N/2<ν<N/2. Получим также соотношения для четной и нечетной составляющих, согласующиеся с равенствами, приведенными выше. Таким образом, имеем 
Рассмотрим чётную и нечётную составляющие ДПХ на примере биномиального импульса (см. ниже)
Из определения F(ν) для ДПФ очевидно, что F(ν) может быть получено с использованием четной и нечетной составляющих ДПХ: F(ν) = E(ν)-iO(ν).
С другой стороны, если мы располагаем преобразованием F(ν), то можно сформировать H(ν): H(ν) = ReF(ν)-ImF(ν).
Эти выражения имеют сходство с соотношениями, полученными выше для непрерывного преобразования.
4.3.Степени свободы.
Нами были установлены взаимно однозначные соотношения между дискретными преобразованиями Фурье и Хартли. При этом возникает вопрос из области теории информации. Как объяснить тот факт, что N вещественных значений ДПХ можно использовать вместо N комплексных значений ДПФ, которые содержат 2N вещественных чисел? Это можно понять, вспомнив о том, что эрмитово свойство ДПФ означает двойную избыточность. Таким образом, ДПФ имеет только N степеней свободы, несмотря на то, что имеется 2N вещественных коэффициентов. Так как для ДПХ вследствие его симметрии не характерно свойство вырожденности, N его вещественных коэффициентов эквивалентны N комплексным коэффициентам ДПФ.
4.4.Другие вещественные ядра.
Функция cas θ может рассматриваться как синусное колебание со сдвигом 45°, автоматически соответствующее косинусной и синусной компонентам. Если в качестве ядра преобразования использовать функцию
sin(θ+α), где α -произвольный сдвиг, то весовые множители косинусной и синусной компонент будут неодинаковы, однако при этом будут отсутствовать информационные потери, за исключением случаев, когда α = 0, π/2,… .Следовательно, можно предположить справедливость обратного преобразования; ядро обратного преобразования равно
α sin θ + 
α cos θ. 4.5.Теоремы связанные с ДПХ.
Каждой теореме дискретного преобразования Фурье соответствует подобная теорема для дискретного преобразования Хартли. Для полноты представления материала ниже даются все теоремы, в том числе теоремы о свертке и корреляции. Свертка функций непрерывного аргумента, обозначаемая символом 
, отличается от процедуры циклической свертки дискретных последовательностей, для обозначения которой используется символ .Можно отметить, что среднее значение последовательности
определяется величиной H(0), а значение ее среднего квадрата равно 
. 
Некоторые теоремы для двух различных преобразований характеризуются точным соответствием, как, например
и 
, тогда как в других случаях имеют место различия.Теорема о зеркальном изображении. Если из последовательности
сформировать ее зеркальное изображение 
, то в результате ведущий (нулевой) элемент сохранит неизменное положение, а остальные элементы изменят порядок следования на обратный. Таким образом, вместо элемента f(1) исходной последовательности имеем f(-1), который интерпретируется как f(-1 mod N) и равен f(N-1), т.е. является последним элементом новой последовательности. Следовательно, вместо последовательности {a b c d e f g h} имеем {a h g f e d c b}, что в области преобразования соответствует замене вида {ABCDEFGH} 
{AHGFEDСВ}.Теорема сложения. Свойство суперпозиции, иллюстрируемое теоремой сложения, просто отражает линейность оператора ДПХ.
Теорема о сдвиге. Сначала рассмотрим пример, в котором реализуется единичный сдвиг последовательности {a0 a1 a2 ... aN-1}, имеющей ДПХ вида {α0 α1 α2 ... αN-1}. В соответствии с теоремой о сдвиге для Т= 1 имеем последовательность {aN-1а0 а1 аг … aN-2}, для которой ДПХ равно
{ α 0 C1α1 C2a2... C N-1 αN-1} - { 0 S1α N-1 S2αN-2 ... SN-1α1},
где Cν = cos (2πν/N), Sν = sin(2πν/N).
Для выполнения данной операция сдвига мы перемещаем каждый элемент исходной последовательности на одну позицию вправо. Последний элемент в соответствии с принятым свойством цикличности перемещается на первую позицию.
ДПХ состоит из двух последовательностей, одна из которых содержит косинусные, другая - синусные коэффициенты. ДПФ также представляет собой совокупность двух последовательностей с синусными и косинусными коэффициентами, однако для ДПХ в отличие от ДПФ для синусной компоненты характерно зеркальное отображение - это свойство именуется обратной индексацией. Для доказательства теоремы о сдвиге подставим f(t+T) в формулу, определяющую прямое ДПХ, и получим
f(τ+T)cas(2πντ/N) = 
f( 
)cas[2πν( -T)/N] = 
f( )[cas (2πν /N) cos (2πνT/N) + cas'(2πν /N) sin(2 πνT/N)] =cos (2πνT/N)
f( )cas(2πν /N) + sin(2πνT/N) f( )cas'(2πνT/N) =