Тема спектральное представление сигналов ясогласен, что все состоит из атомов. Но какое нам до этого дело? Ведь мы занимаемся вопросом о природе богов! (стр. 7 из 9)
= (1/2p)
s(t)H(w') exp(-j(w-w')t) dw'dt =(1/2p)
H(w') dw' s(t) exp(-j(w-w')t) dt == (1/2p)
H(w') S(w-w') dw' = (1/2p) H(w) * S(w). (4.3.9)Таким образом, произведение функций в координатной форме отображается в частотном представлении сверткой фурье-образов этих функций, с нормировочным множителем (1/2p), учитывающем несимметричность прямого и обратного преобразования Фурье функций s(t) и h(t) при использовании угловых частот.
9. Производная свертки двух функций s'(t) = d[x(t) * y(t)]/dt. С использованием выражений (4.3.6) и (4.3.8), получаем:
s'(t) = jw [X(w) Y(w)] = (jw X(w)) Y(w) = X(w) (jw Y(w).
s'(t) = x'(t) * y(t) = x(t) * y'(t).
Это выражение позволяет выполнять вычисление производной сигнала с одновременным сглаживанием весовой функцией, которая является производной сглаживающей функции (например, гауссиана).
10. Спектры мощности. Временная функция мощности сигнала в общей форме определяется выражением:
w(t) = s(t) s*(t) = |s(t)|2.
Спектральная плотность мощности, соответственно, равна преобразованию Фурье произведения s(t)·s*(t), которое отобразится в спектральном представлении сверткой Фурье-образов этих функций:
W(f) = S(f) * S*(f) =
S(f) S*(f-v) dv. (4.3.10)Но для всех текущих значений частоты f интеграл в правой части этого выражения равен произведению S(f)·S*(f), так как для всех значений сдвига v ≠ 0 в силу ортогональности гармоник S(f) и S*(f-v) значения их произведения равны нулю. Отсюда:
W(f) = S(f) * S*(f) = |S(f)|2. (4.3.11)
Спектр мощности - вещественная неотрицательная четная функция, которую очень часто называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектра сигнала, не содержит фазовой информации о частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности.
Для функций мощности взаимодействия сигналов в частотной области соответственно имеем частотные спектры мощности взаимодействия сигналов:
Wxy(f) = X(f) Y*(f),
Wyx(f) = Y(f) X*(f),
Wxy(f) = W*yx(f).
Функции мощности взаимодействия сигналов комплексные, даже если обе функции x(t) и y(t) вещественны, при этом Re[Wxy(f)] - четная функция, а Im[Wxy(f)] - нечетная. Отсюда полная энергия взаимодействия сигналов при интегрировании функций мощности взаимодействия определяется только реальной частью спектра:
Exy = (1/2p)
Wxy(w) dw = (1/p) Re[Wxy] dw,и всегда является вещественным числом.
11. Равенство Парсеваля. Полная энергия спектра сигнала:
Es =
W(f) df = |S(f)|2 df. (4.3.12)Так как координатное и частотное представление по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала, то равной должна быть и энергия сигнала в двух представлениях, откуда следует равенство Парсеваля:
|s(t)|2 dt = |S(f)|2 df,т.е. энергия сигнала равна интегралу модуля его частотного спектра - сумме энергий всех частотных составляющих сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия сигналов:
x(t) y*(t) dt = X(f) Y*(f) df.Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:
áx(t),y(t)ñ = áX(f),Y(f)ñ, ||x(t)||2 = ||X(f)||2.
Не следует забывать, что при представлении спектров в круговых частотах (по w) в правой части приведенных равенств должен стоять множитель 1/2p.
4.4. Спектры некоторых сигналов [1, 16].
1. Единичные импульсы. Функция d(t), центрированная относительно t = 0, значения которой по определению равны нулю при t ¹ 0, a интеграл от - ¥ до ¥ равен 1, имеет равномерное спектральное распределение в бесконечной полосе частот от -∞ до ¥:
TF[d(t)] =
d(t) exp(-jwt) dt = 1. (4.4.1)Это следует и из свойства свертки функций, поскольку свертка функции с бесконечно коротким импульсом с единичной площадью не должна приводить к изменению функции:
s(t) * d(t) = s(t).
Выполняя преобразование Фурье правой и левой части данного выражения, имеем:
S(w) H(w) = S(w),
что может быть реализовано только при H(w) = 1.
Отсюда следует также, что дельта-функцию можно записать в виде обратного преобразования Фурье:
d(t) = (1/2p)
exp(jwt) dw. (4.4.2)  Рис. 4.4.1. Спектр функции d(t-2) |
С учетом теоремы запаздывания (4.3.3), для обобщенной функции Дирака имеем:
d(t-t) Û exp(-jwt),
d(t-t)=(1/2p)
exp(jw(t-t))dw.Пример спектра функции приведен на рис. 4.4.1.
Для сигнала x(t), представляющего собой единичный короткий импульс произвольной формы с площадью, равной Р, сосредоточенной на малом интервале t около t=0:
X(w) =
x(t) exp(-jwt) dt ≅ x(t) dt = P,т.к. при малых t значение exp(±jwt) → 1, если t ≪ 2p/w. Отсюда следует важный практический вывод: короткий одиночный импульс произвольной формы имеет сплошной спектр и может быть выражен константой, пропорциональной площади импульса, в пределах интервала частот, период колебаний которых больше длительности импульса.
Если спектром весовой дельта-функции является константа, то на основе дуальности преобразования Фурье спектром константы должна быть весовая дельта-функция в нуле частотной оси.
С Û С×d(w).
 Рис. 4.4.2. |
Представить графически эту операцию для непрерывных функций невозможно. Но для дискретных спектральных функций с использованием весового импульса Кронекера она имеет вполне реальный смысл (рис. 4.4.2).
С учетом дуальности преобразования Фурье, для d-функций в спектральной области соответственно имеем:
d(w-wo) =
exp(j(w-wo)t) dt. (4.4.3)2. Гребневая функция ШT(t) представляет собой последовательность импульсов Дирака с периодом Т = 1/F, где F- частота следования импульсов:
ШТ(t) =
d(t-kT).Спектр гребневой функции (с учетом теоремы запаздывания при Df = 1/T = F) также представляет собой последовательность импульсов Дирака:
ШТ(t) = (1/Т)
exp(-2pjnDft) Û (1/T) d(f-kF) = F·ШF(f). (4.4.4.)3. Спектр прямоугольного импульса Пr(t) амплитудой U и длительностью r (рис. 4.4.2). При расположении начала координат по центру импульса:
Пr(w) =
Пr(t)exp(-jwt) dt = U 
exp(-jwt) dt,Пr(w) = rU sin(wr/2)/(wr/2) = rU sinc(wr/2). (4.4.5)
 Рис. 4.4.2. П - импульсы |
Вид функций Пr(w) приведен на рис. 4.4.3. Представлена только часть частотного диапазона, в остальной части диапазона постепенно затухающие флюктуации спектров, которые, чисто теоретически, простираются до бесконечности.
Как и следовало ожидать, для вещественной и четной динамической П-функции спектр сигнала также является вещественной и четной функцией частоты. Ширина главного пика по нулевому уровню обратно пропорциональна длительности импульсов и равна 4p/r. Значение спектральной плотности на нулевой частоте (амплитуда центрального пика) равно площади импульсов. Спектр имеет лепестковый характер, ширина лепестков (по пересечениям нулевой линии) равна 2p/r. Максимумы боковых лепестков равны 2Ur/((2n+1)p), где n = 1, 2, 3, … – номер бокового лепестка (от центра).