Тема спектральное представление сигналов ясогласен, что все состоит из атомов. Но какое нам до этого дело? Ведь мы занимаемся вопросом о природе богов! (стр. 5 из 9)

Рис. 4.2.5.

В математическом анализе для упрощения записей используют символическую форму обозначения преобразования Фурье:

s(t) Û S(f), s(t) Û S(w),

где, в общем случае, как фурье-образ функции, так и она сама могут быть комплексными.

Для физических сигналов и их достаточно корректных математических моделей преобразование Фурье, как правило, всегда существует. С чисто математических позиций сигналу s(t) можно сопоставить спектральную плотность S(w), если существует интеграл:

|s(t)| dt < ¥. (4.2.9)

Полезные соотношения. Для действительного сигнала s(t) имеет место

s(t) = (1/2p)

S(w) exp(jwt) dw = (1/2p) |S(w)| exp(j(wt+j)) dw =

= (1/p)

|S(w)| cos(wt+j(w)) dw

При w = 0 S(0) =

s(t) dt – площадь сигнала.

При t = 0 s(0) = (1/2p)

S(w) dw.

Преобразование Лапласа. Если условие (4.2.9) не выполняется, то определенные приближения спектральных плотностей вычисляются с использованием специальных методов, одним из которых является одностороннее преобразование Лапласа.

Рис. 4.2.6.

Допустим, что функция s(t) задана на интервале (0, ¥), равна нулю при t<0, а интеграл спектральной функции (4.2.2) расходится. Умножим s(t) на экспоненциальную функцию exp(-st), где s - положительная константа, и выберем значение s таким, чтобы произведение u(t) = s(t)×exp(-st) удовлетворяло условию абсолютной интегрируемости. Сущность данной операции хорошо видна на рис. 4.2.6 (s=с). Интегрируемость функции u(t) может быть установлена для любой функции s(t) соответствующим выбором коэффициента s. При этом спектральная плотность функции u(t) может быть вычислена по формуле (4.2.2):

U(w,s) =

[s(t) exp(-st)] exp(-jwt) dt.

После объединения экспоненциальных функций это выражение можно переписать следующим образом:

U(s+jw) =

s(t) exp[-(s+jw)t] dt. (4.2.10)

Соответствующее обратное преобразование Фурье функции U(s+jw):

(1/2p)

U(s+jw) exp(jwt) dw = s(t) exp(-st).

Для восстановления функции s(t) достаточно умножить обе части данного выражения на exp(st), объединить экспоненциальные множители под интегралом и заменить переменную интегрирования w на s+jw:

s(t) = (1/2pj)

S(s+jw) exp[(s+jw)t] d(s+jw). (4.2.11)

Обозначим комплексную переменную s+jw в выражениях (4.2.10,4.2.11) через р (оператор Лапласа) и получим общепринятую форму прямого и обратного преобразования Лапласа:

S(p) =

s(t) exp[-pt] dt. (4.2.10')

s(t) = (1/2pj)

S(p) exp(pt) dp. (4.2.11')

Рис. 4.2.7. Сигнал и его спектральная функция Лапласа при p=0.0005+jw.

Сигнальную функцию s(t) в преобразованиях Лапласа обычно называют оригиналом, а ее спектральную функцию S(p) - изображением оригинала. Пример спектральной функции Лапласа для оригинала - сложного и неограниченного во времени сигнала, состоящего из каузальной суммы трех гармоник, приведен на рис. 4.2.7. По спектральной функции Лапласа можно выделить эти три основных частоты сигнала и оценить соотношение их амплитуд. Ширина пиков спектральной функции при выделении "чистых" гармоник зависит от значения коэффициента s и уменьшается при его уменьшении.

Преобразование Лапласа справедливо только в области сходимости интеграла (4.2.10), которая определяется абсциссой абсолютной сходимости s₀ (при s ≥ s₀):

|s(t) exp(-(s+jw)t)| dt = |s(t)||exp(-jwt)| exp(-st) dt = |s(t)| exp(-st) dt < ∞.

Если вместо р в изображениях оригинала подставить переменную jw, то будут получены спектральные функции, полностью идентичные преобразованию Фурье каузальных функций (имеющих нулевые значения при t<0).

Обобщенный ряд Фурье. Тригонометрические функции не является единственно возможными функциями разложения сигналов. В общем случае разложение сигнала s(t) на интервале (a, b) в ряд вида

c_kj_k(t) может быть выполнено по произвольным функциям j_k(t). При задании минимальной погрешности приближения

Ds =

[s(t) - c_kj_k(t)]² dt

коэффициенты c_k могут быть найдены из системы линейных уравнений:

= [s(t) - c_kj_k(t)]² dt = 0, k = 0,1,2,…N.

При линейной независимости функций j_k(t) данная система уравнений имеет единственное решение. Если все функции j_k(t) взаимно ортогональны и соответствующей нормировкой обеспечена их ортонормированность

j_m(t) j_n(t) dt = ,

то процесс нахождения коэффициентов c_k оказывается наиболее простым:

c_k =

s(t) j_k(t) dt,

и для принятого значения N погрешность приближения Ds является минимальной. Если при N ® ¥ имеет место Ds ® 0, система функций j_k(t) называется базисной системой координат пространства сигналов L²[a, b] . При этом имеет место равенство:

s(t) =

c_kj_k(t).

Разложение по ортонормированной системе базисных функций называется обобщенным рядом Фурье, а набор коэффициентов c_k представляет собой спектр функции s(t) в соответствующем базисе. В зависимости от специфики решаемых задач применяются различные системы базисных функций. В частности, используются разложения по полиномам Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита, функциям Хаара и Уолша и т.п.

4.3. Свойства преобразований Фурье [1, 17].

Свойствами преобразований Фурье определяется взаимное соответствие трансформации сигналов и их спектров.

1. Линейность. Преобразование Фурье относится к числу линейных интегральных операций, т.е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.

a_ns_n(t) Û a_nS_n(w). (4.3.1)

Пример суммирования сигналов и его отображения в спектральной области на рис. 4.3.1.

Рис. 4.3.1. Сигналы и их спектры. s0(k)=s1(k)+s2(k) Û S1(w)+S2(w) = S0(w).

Сигнал s(t)	Спектр S(w)
Четный	Вещественный, четный
Нечетный	Мнимый, нечетный
Произвольный	Действительная часть – четная. Мнимая часть - нечетная

2. Свойства симметрии преобразования определяются косинусными (четными, действительными) и синусными (нечетными, мнимыми) частями разложения и подобием прямого и обратного преобразований.

На рис. 4.3.2. приведены примеры, поясняющие свойства четности преобразования. Сигнал s1(k) является четным, s1(k) = s1(-k), и имеет только вещественный четный спектр (мнимая часть спектральной функции представлена нулевыми значениями). Сигнал s2(k) = -s2(-k) нечетный и имеет мнимый нечетный спектр, а нулевыми значениями представлена его действительная часть. Сигнал s3(k) образован суммой сигналов s1(k) и s2(k). Соответственно, спектральная функция сигнала представлена и действительной четной частью (принадлежащей s1(k)), и мнимой нечетной частью (принадлежащей s2(k)). При обратном преобразовании Фурье раздельно действительной и мнимой части спектра S3(w), равно как и любых других комплексных спектров, будут раздельно восстановлены четная и нечетная части исходного сигнала.