Тема спектральное представление сигналов ясогласен, что все состоит из атомов. Но какое нам до этого дело? Ведь мы занимаемся вопросом о природе богов! (стр. 2 из 9)
Экспоненциальные функции также являются собственными функциями линейных операций. Для операции переноса по аргументу:
exp[jw(t+h)] = exp(jwh)·exp(jwt) = H(w) exp(jwt),
где Н(w) = exp(jwh) - собственное значение операции переноса, независимое от переменной.
Для операции дифференцирования:
d[exp(jwt)]/dt = jw exp(jwt), H(w) = jw.
Для операции интегрирования:
exp(jwt) dt = (1/jw) exp(jwt), H(w) = 1/jw.В общей форме, для любых линейных операций преобразования:
Т[exp(jwt)] = H(w) exp(jwt),
где T[.] - произвольный линейный оператор, H(w) - собственное значение операции, независимое от аргумента.
У специалистов - практиков существует предубеждение против использования комплексных функций с их мнимыми частотами. Поэтому в дальнейшем будем использовать и вещественные функции, и их комплексные аналоги, по крайней мере, до тех пор, пока простота и удобство использования последних не станет очевидным.
Ряды Фурье. Разложению в ряды Фурье подвергаются периодические сигналы. Периодическую функцию любой формы, заданную на интервале одного периода Т = b-a и удовлетворяющую на этом интервале условиям Дирехле (ограниченная, кусочно-непрерывная, с конечным числом разрывов 1-го рода), можно представить в виде ряда Фурье:
s(t) =
Sn exp(jnDwt), Sn = S(nDw), Dw = 2p/T, (4.1.1)где весовые коэффициенты Sn ряда определяются по формуле:
Sn = (1/T)
s(t) exp(-jnDwt) dt. (4.1.2)Ряд Фурье представляет собой ансамбль комплексных экспонент exp(jnDwt) с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Функцию весовых коэффициентов S(nDw) принято называть комплексным спектром периодического сигнала или фурье-образом функции s(t). Спектр периодического сигнала является дискретной функцией, т.к. он определен только для целых значений n с шагом по частоте, обратным периоду: Dw = 2p/Т (или Df = 1/T). Первую частотную составляющую спектра при n = 1, равную w1 = 1×Dw = 2p/T (или f1 = 1/T), называют основной частотой сигнала (первой гармоникой), остальные частоты дискретного спектра nDw при n>1 называют гармониками сигнала. Значения S(nDw) по положительным и отрицательным значениям n являются комплексно сопряженными. Шаг по частоте Dw между двумя соседними синусоидами называется частотным разрешением спектра.
С чисто математических позиций множество функций exp(jnDwt), -¥ < n < ¥ образует бесконечномерный базис линейного пространства L2[a,b] ортогональных синус-косинусных функций, а коэффициенты Sn по (4.1.2) представляют собой проекции сигнала s(t) на эти базисные функции. Соответственно, сигнал s(t) в форме ряда Фурье (4.1.1) – это бесконечномерный вектор в пространстве L2[a,b], точка с координатами Sn по базисным осям пространства exp(jnDwt).
Коэффициенты Sn в (4.1.2) отображают функцию s(t) в новое пространство единственным образом. Если функция s(t) непрерывна, то ряд (4.1.1) сходится равномерно к s(t), при этом ошибка аппроксимации ||s(t)-sN(t)|| функции s(t) с усечением ряда (4.1.1) до ±N членов меньше ошибки аппроксимации любым другим рядом с тем же количеством членов. Если s(t) не является непрерывной (имеет разрывы), но конечна по энергии (квадратично интегрируема), то метрика ||s(t)-sN(t)|| стремится к нулю при N → ∞, при этом в точках разрыва сумма ряда стремится к (s(t+)+s(t-))/2.
Подынтегральную функцию экспоненты в выражении (4.1.2) с использованием тождества Эйлера
exp(±jwt) = cos(wt) ± j×sin(wt)
можно разложить на косинусную и синусную составляющие и выразить комплексный спектр в виде действительной и мнимой части:
Sn = (1/T)
s(t) [cos(nDwt) - j sin(nDwt)] dt = Аn - jBn. (4.1.3)An ≡ A(nDw) = (1/T)
s(t) cos(nDwt) dt, (4.1.4)Bn ≡ B(nDw) = (1/T)
s(t) sin(nDwt) dt. (4.1.5)На рис. 4.1.1 приведен пример периодического сигнала (прямоугольный импульс на интервале (1-3.3), повторяющийся с периодом Т=40) и форма действительной и мнимой части его спектра. Обратим внимание, что действительная часть спектра является четной относительно нуля функцией A(nDw) = A(-nDw), так как при вычислении значений A(nDw) по формуле (4.1.4) используется четная косинусная функция cos(nDwt) = cos(-nDwt). Мнимая часть спектра является нечетной функцией B(nDw) = -B(-nDw), так как для ее вычисления по (4.1.5) используется нечетная синусная функция sin(nDwt) = - sin(-nDwt).
Рис. 4.1.1. Сигнал и его комплексный спектр.
Комплексные числа дискретной функции (4.1.3) могут быть представлены в виде модулей и аргументов комплексной экспоненты, что дает следующую форму записи комплексного спектра:
Sn = Rn exp(jjn), (4.1.3')
Rn2 ≡ R2(nDw) = A2(nDw)+B2(nDw),
jn ≡ j(nDw) = arctg(-B(nDw)/A(nDw)).
Модуль спектра R(nDw) называют двусторонним спектром амплитуд или АЧХ - амплитудно-частотной характеристикой сигнала, а аргумент спектра (последовательность фазовых углов j(nDw)) - двусторонним спектром фаз или ФЧХ – фазочастотной характеристикой. Спектр амплитуд всегда представляет собой четную функцию: R(nDw) = R(-nDw), а спектр фаз нечетную: j(nDw) = -j(-nDw). Пример спектра в амплитудном и фазовом представлении для сигнала, показанного на рис. 4.1.1, приведен на рис. 4.1.2. При рассмотрении спектра фаз следует учитывать периодичность 2p угловой частоты (при уменьшении фазового значения до величины менее -p происходит сброс значения -2p).
Рис. 4.1.2. Модуль и аргумент спектра.
 Рис. 4.1.3. Ортогональность функций. |
Если функция s(t) является четной, то все значения B(nDw) по (4.1.5) равны нулю, т.к. четные функции ортогональны синусным гармоникам и подынтегральное произведение s(t)·sin(nDwt) дает нулевой интеграл. Следовательно, спектр функции будет представлен только вещественными коэффициентами. Напротив, при нечетности функции s(t) обнуляются все значения коэффициентов А(nDw) (нечетные функции ортогональным косинусным гармоникам) и спектр является чисто мнимым. Этот фактор не зависит от выбора границ задания периода функции на числовой оси. На рис. 4.1.3(А) можно наглядно видеть ортогональность первой гармоники синуса и четной функции, а на рис. 4.1.3(В) соответственно косинуса и нечетной функции в пределах одного периода. Учитывая кратность частот последующих гармоник первой гармонике спектра, ортогональность сохраняется для всех гармоник ряда Фурье.
При n = 0 имеем Во = 0, и получаем постоянную составляющую сигнала:
S0 ≡ Ao ≡ Ro ≡ (1/T)
s(t) dt.Тригонометрическая форма рядов Фурье. Объединяя в (4.1.1) комплексно сопряженные составляющие (члены ряда, симметричные относительно центрального члена ряда S0), можно перейти к ряду Фурье в тригонометрической форме:
s(t) = Ао+2
(An cos(nDwt) + Bn sin(nDwt)), (4.1.6) s(t) = Ао+
2Rn cos(nDwt + jn). (4.1.6')Значения An, Bn вычисляются по формулам (4.1.4-4.1.5), значения Rn и jn - по (4.1.3').
Ряд (4.1.6) представляют собой разложение периодического сигнала s(t) на сумму вещественных элементарных гармонических функций (косинусных и синусных) с весовыми коэффициентами, удвоенные значения которых (т.е. значения 2An, 2Bn) не что иное, как реальные амплитуды соответствующих гармонических колебаний с частотами nDw. Совокупность амплитудных значений этих гармоник образует односторонний физически реальный (только для положительных частот nDw) спектр сигнала. Для сигнала на рис. 4.1.1, например, он полностью повторяет правую половину приведенных на рисунке спектров с удвоенными значениями амплитуд (за исключением значения Ао на нулевой частоте, которое, как это следует из (4.1.6), не удваивается). Но такое графическое отображение спектров используется довольно редко.
В технических приложениях более широкое применение для отображения физически реальных спектров находит формула (4.1.6'). Спектр амплитуд косинусных гармоник 2Rn при таком отображении называется амплитудно-частотным составом сигнала, а спектр фазовых углов гармоник – фазовой характеристикой сигнала. Форма спектров повторяет правую половину соответствующих двусторонних спектров (см. рис. 4.1.2) также с удвоенными значениями амплитуд. Для четных сигналов отсчеты фазового спектра могут принимать только значения 0 или p, для нечетных соответственно ±p/2.
 Рис. 4.1.4. Разложение сигнала в комплексный ряд Фурье. |
На рис. 4.1.4 показано разложение в комплексный ряд Фурье модельного сигнала, выполненное в среде Mathcad. Модель сигнала задана с тремя разрывами первого рода (скачками). Любой скачок функции содержит все частоты диапазона до бесконечности, в связи с чем ряд Фурье также бесконечен и очень медленно затухает. На рисунке приведены значения только первых 100 членов ряда, при этом график спектра сигнала, как это обычно принято на практике, построен в виде огибающей значений модулей коэффициентов ряда Sn и только по области положительных значений n.