«Применение пакета Mathematica для вычисления интегралов» (стр. 4 из 6)
Пример 3. Вычислить интеграл:
Функция
в точке z, равной бесконечности, имеет нуль первого порядка и на действительной оси не имеет особых точек.Особые точки функции:
Поскольку
, вычисляем вычет в точке 
- просто полюсе функции 
: 
.Для заданного интеграла по формуле (2.1) получаем результат:
В пакете Mathematica (см. рисунок 3.5):
Рисунок 3.5 – Пример вычисления интеграла
3.3. Интеграл от комплексного переменного
Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:
, где 
- точка, произвольно выбранная на дуге 
разбиения кривой, 
- приращение аргумента функции на этом участке разбиения, 
- шаг разбиения, 
- длина хорды, соединяющей концы дуги , кривая l разбивается произвольным образом на n частей 
, k=1,2…n.В случае замкнутой кривой l=C:
Интегрирование происходит в положительном направлении, т.е. в направлении обхода, оставляющем слева конечную область, ограниченную контуром C.
Существует несколько способов вычисления интегралов в комплексной области.
Способ 1. Интеграл вычисляется сведением к криволинейному интегралу от функции действительных переменных, применяются формулы:
Пример 1. Вычислить интеграл 
, где:а). l – прямая, соединяющая точки
б). l – ломаная ОВА, О(0,0), В(1,0), А(1,1).
Решение:
а). Путь интегрирования l – прямая, соединяющая точки
Применяем к вычислению интеграла формулу (1). Подинтегральное выражение имеет вид
.Поэтому:
.Уравнение отрезка прямой, соединяющей точки
имеет вид 
.Получаем:
.б). Путь интегрирования l – ломаная ОВА, О(0,0), В(1,0), А(1,1).
Так как путь интегрирования состоит из 2 отрезков, то:
.Каждый из этих двух интегралов вычисляем для ОВ (
), и для ВА ( 
).Тогда
.В пакете Mathematica (см. рисунок 3.6):
Рисунок 3.6 – Пример вычисления интеграла
Способ 2. Интеграл вычисляется приведением к определенному интегралу (путь интегрирования f задается в параметрической форме z=z(t)) – применяется формула:
.Пример 2. Вычислить интеграл
, l –верхняя полуокружность 
, обход l против часовой стрелки. Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитическая. Применим формулу (2) , поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление: 
. Тогда 
.Подставляем в подинтегральное выражение:
.В пакете Mathematica (см. рисунок 3.7):
Рисунок 3.7 – Пример вычисления интеграла
Способ 3. Вычисление интегралов от аналитических функций в односвязных областях – применяется формула:
, где F(z) первообразная для f(z).Пример 3. Вычислить интеграл от аналитической функции
.Применяем формулу (3), находим первообразную, используя методы интегрирования действительного анализа:
.В пакете Mathematica (см. рисунок 3.8):
Рисунок 3.8 – Пример вычисления интеграла
3.4. Вычисление интеграла с помощью теоремы о вычетах.
Теорема (основная теорема о вычетах):
Если функция f(z) – аналитична в
за исключением конечного числа особых точек 
,то справедливо равенство: 
, где D – односвязная область в комплексной плоскости, 
- граница D, 
- вычет функции f(z) в точке 
.Пример 1. Вычислить интеграл
.Особыми точками подинтегральной функции являются нули знаменателя – корни уравнения exp(z) – i =0, т.е. точки
Кругу
принадлежит только одна из этих точек, точка 
.Эта точка - простой полюс функции
, т.к. она является простым нулем знаменателя. Вычислим вычет в простом полюсе f(z): 
. Тогда 
.В пакете Mathematica (см. рисунок 3.9):
Рисунок 3.9 – Пример вычисления интеграла
Пример 2. Вычислить интеграл
.Единственная особая точка подинтегральной функции – существенно особая точка z=0. Она принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования.
Вычислим вычет в существенно особой точке функции f(z):
, поскольку 
. Тогда 
.В пакете Mathematica (см. рисунок 3.10):
Рисунок 3.10 – Пример вычисления интеграла
Пример 3. Вычислить интеграл
.Особыми точками подинтегральной функции являются нули знаменателя – корни уравнения
, т.е. точки 
Все эти точки – простые полюсы подинтегральной функции, кругу
принадлежит только две из них: 
.Вычислим вычеты в этих точках:
