Методические указания для студентов 1 курса Одесса 2008 (стр. 6 из 11)
и потому каждый вектор
единственным способом представим в виде суммы 
где
Вектор 
называют (ортогональной) проекцией вектора 
на подпространство 
и обозначают 
, а 
- перпендикуляром (ортогональной составляющей) из вектора на подпространство 
: 
. Очевидно, что 
, 
. (6)Если
, то 
(7)и тогда
.Умножаем последнее равенство скалярно на
, 
, с учетом 
, получаем 
(8)Эта система в силу существования представления (7) совместна. Определитель матрицы этой системы есть определитель Грама
. Если 
- линейно независима, то 
и система (8) имеет единственное решение. В противном случае у системы (8) решений бесконечно много. Но нам достаточно найти одно (все другие решения дадут нам те же векторы и ). Если система (8) получилась несовместной, ищите ошибку. Вычисления сокращаются, если известны базисы и 
и если, опираясь на соотношения (6), выбрать то подпространство, размерность которого меньше.Умение находить
и 
позволит успешно справиться с большинством задач на вычисление длин, расстояний и углов.Задача 2.3. Вычислить расстояние от вектора
до плоскости 
, заданной системой уравнений 
.Решение. Напомним: плоскостью (линейным многообразием) называется множество векторов вида
,где
- вектор сдвига, - данное (направляющее) подпространство. Любая плоскость может быть задана как множество решений некоторой системы линейных уравнений. Частное решение этой системы дает координаты вектора сдвига. Общее решение приведенной системы - направляющее подпространство. Учитывая это, находим, что 
, где 
, 
.Расстояние от вектора
до плоскости 
определяется как 
или как 
.Так как
(применена теорема Пифагора), то
Мы получили формулу
Остается вычислить
и его длину. 
. 
и тогда
.Умножаем последнее равенство скалярно на
, 
, с учетом 
, получаем 
Решая систему, находим
.Тогда
. 
. 
3. ОПЕРАТОРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.
Пусть
и 
- два произвольных линейных пространства. Как известно, оператором, действующим из в называется отображение пространства в пространство 
. Если отображение обозначить символом 
, то это записывают так: 
.Образ вектора
обозначают 
или 
и называют значением оператора 
на векторе 
. По определению 
.Оператор
называют линейным оператором, если и - пространства над одним и тем же полем 
и при этом1.
(аддитивность оператора);
2.
(однородность оператора).
Понятие линейного оператора является одним из важнейших в математике. Это подтверждается хотя бы тем, что основные операторы, изучаемые в математическом анализе и алгебре (предельный переход, дифференцирование, интегрирование, проектирование на подпространство, умножение на матрицу и др.) являются линейными.
Оператор
называют также преобразованием пространства 
.Основные типы задач по этой теме:
a) проверка линейности заданного оператора;