Методические указания для студентов 1 курса Одесса 2008 (стр. 10 из 11)
клеток порядка
: 
,…………………………………………
клеток порядка
: 
,клеток порядка
: 
.Следует помнить, что хотя жнф матрицы определена однозначно с точностью до порядка клеток вдоль главной диагонали, ККБ существует бесконечно много. Поэтому не удивительно, если найденный вами ККБ не совпадает с ответом в сборнике задач (но проверить свое решение полезно).
Замечание. Если
- ККБ оператора 
и 
- матрица перехода от базиса 
к ККБ, то имеет место равенство: 
.Таким образом нами «попутно» найдена преобразующая матрица Е, приводящая данную матрицу
к ЖНФ.4. ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пусть
и 
- два произвольных пространства, оба евклидовых или оба унитарных. Рассмотрим линейный оператор 
. Напомним, что оператор 
называется сопряженным по отношению к оператору , если 
и 
выполняется равенство 
.Для всякого оператора
сопряженный оператор 
существует и единственный. Причем
, (9)где
- какой-либо ортонормированный базис (ОНБ) 
.Равенство (9) можно применять за определение сопряженного оператора.
Матрица
размерности 
с элементами 
называется сопряженной по отношению к матрице размерности 
с элементами 
, если 
.Заметим, что в любых ОНБ унитарных пространств
и 
сопряженному оператору соответствует соряженная матрица, справедливо и обратное.Если мы рассматриваем евклидовы пространства
и , то таким же образом устанавливается соответствие между сопряженными операторами и транспонированными матрицами.Задача 4.1. Найти сопряженный оператор для оператора
.В
введено естественное скалярное произведение 
.Решение. В заданном унитарном пространстве
стандартный базис 
является ОНБ. Для построения сопряженного оператора воспользуемся равенством (9). 
, 
, 
, 
.Итак, искомый сопряженный оператор имеет вид
.Задача решена.
Задача 4.2. В пространстве
введено скалярное произведение 
и задана матрица
линейного оператора 
в базисе 
.Построить матрицу
сопряженного оператора 
в базисе 
.Решение. Проверим, является ли базис
ортонормированным в заданном евклидовом пространстве. 
, 
, 
, 
, 
.Ортогонализируем систему
. 
, 
, 
, 
, 
.Осталось нормировать полученную систему
, 
, 
.Мы построили ОНБ
. Теперь мы должны, используя матрицу перехода от одного базиса к другому, перейти к матрице оператора в ОНБ. Зная, как связаны матрицы сопряженных операторов в ОНБ, можно построить матрицу сопряженного оператора в базисе 
, а затем вернуться опять к исходному базису.Матрица перехода от базиса
к базису 
имеет вид 
, 
. 
.Мы знаем, как связаны матрицы сопряженных операторов в ОНБ
,поэтому
.Используя матрицу перехода
, возвращаемся к исходному базису 