Методические указания и контрольные задания к выполнению контрольных работ №4,5,6 для студентов специальности 290300 заочной формы обучения (стр. 2 из 7)

,

то есть

.

Пример 2. Найти

и , если .

Решение. Найдем

; .

Следовательно,

.

Вторая производная

.

Пример 3. Найти

, если .

Решение. Здесь функция

задана неявным образом. Дифференцируем обе части равенства по , учитывая, что и сложные функции .

или .

Выразим из этого выражения

: .

Откуда

.

Пример 4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала

при .

Решение. Значение функции

в точке равно: . Вычислим значение дифференциала в этой точке, соответствующее приращению аргумента

.

.

.

Тогда, применяя формулу

, получим: .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №5

ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Основные теоретические сведения

1. Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций (неопределенность вида

или ) равен пределу отношения их производных:

(1)

если предел в правой части равенства существует.

2. Если в некоторой окрестности точки

выполняется неравенство или , то называется точкой экстремума функции (соответственно точкой максимума или минимума). Необходимое условие экстремума: если - экстремальная точка функции , то первая производная либо равна 0 или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие экстремума: является экстремальной точкой функции , если ее первая производная меняет знак при переходе через точку : с плюса на минус при максимуме, с минуса на плюс - при минимуме.

3. Точка

называется точкой перегиба кривой , если при переходе через точку меняется направление выпуклости. Необходимое условие точки перегиба: если - точка перегиба кривой , то вторая производная либо равна 0, либо не существует. Достаточное условие точки перегиба: является точкой перегиба кривой , если при переходе через точку вторая производная меняет знак.

4. Прямая

называется наклонной асимптотой кривой , если расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при . При этом

, . (2)

При

имеем горизонтальную асимптоту: .

Если

или , (3)

то прямая

называется вертикальной асимптотой.

5. Общая схема исследования функции и построения ее графика[5].

6. Нахождение приближенных значений действительных корней уравнения

предусматривает предварительное отделение корня, то есть установление промежутка, в котором других корней данного уравнения нет. Если функция определена и непрерывна вместе со своими производными и на отрезке , значения и функции на концах промежутка имеют разные знаки, то есть , и обе производные и сохраняют знак во всем промежутке , то на этом промежутке существует единственный корень.

Приближенное значение корня с заданной степенью точности

можно вычислить методом хорд по формуле:

(4)

где

выбирают равным , если и имеют одинаковые знаки, то есть ; и , если ; - последовательные приближения, причем при или , если .