Золотое сечение (стр. 2 из 5)

Деление отрезка в среднем и крайнем отношении называют золотым сечением. Другое название – «золотая пропорция».[5]

с : b = b : а.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему отрезку.

a=c-b

b:c= (c-b):а

В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних

b ² + cb – c²=0

Длина отрезка выражается положительным числом, поэтому после преобразований

b= −(c+√5с²)∕2 или b=(√5−1)∕2∙с

Число (√5−1)∕2 обозначается буквой

в честь древнегреческого скульптора Фидия, в творениях которого это число встречается многократно.

Число

- иррациональное. В практике его используют округляя до тысячных 0,618 или сотых 0,62 или десятых 0,6.

Части золотого сечения приблизительно составляют 62% и 38% всего отрезка.

Древние математики обнаружили, что золотое сечение можно получить при помощи геометрии, и потом применять в любом масштабе, даже для строительства пирамид.

Я предлагаю рассмотреть один из многих способов, как это можно сделать.

1. Построим отрезок AB, восстановим в точке B перпендикуляр к AB, на нем отложим точку E таким образом, чтобы BE=0,5AB

2. Далее соединив точки A и E, отложим ED=BE, и AC=AD. Точка С является искомой, она производит «золотое сечение» отрезка AB.

Заметим, что по теореме Пифагора

(AD + DE)²=AB² + BD²,

а по построению AD=AC, DE=BE=0,5AB

Из этих равенств следует, что AC² + AC∙AB=AB², а отсюда можно получить равенство

AC:AB=CB:AC

Свойства

[6]

Первое свойство:

1∕

≈ −1

то есть 1∕1,618≈1,618−1

Второе свойство:

²≈ +1

то есть 1,618∙1,618≈2,618=1,618+1

Эти свойства имеют многогранные применения, но об этом в следующей части.

Глава 2 Золотые фигуры

На основе идеи золотого сечения существуют различные фигуры, содержащие эту пропорцию. Аналогично названию пропорции, их называют «золотые фигуры». Каждая такая фигура обязательно содержит пропорцию Фидия.

1. Золотой прямоугольник[7]

Золотой прямоугольник – прямоугольник, у которого отношение смежных сторон дает пропорцию Фидия. А форму «золотого сечения» придавали книгам, столам и т.д. «Золотой прямоугольник» обладает интересным свойством: если от него отрезать квадрат, то останется вновь «золотой прямоугольник». Так можно продолжать до бесконечности. Если провести диагонали первого и второго прямоугольников, то точка О их пересечения принадлежит всем получаемым «золотым прямоугольникам»

Произведения в искусстве значительно улучшены с использованием знания Золотого прямоугольника. Притягательность его ценности и употребления были особенно сильны в древнем Египте и Греции и во времена Ренессанса, т.е. во всех важных периодах цивилизации. Леонардо да Винчи ( Leonardo da Vinci ) придавал огромное значение Золотой пропорции. Он также находил ее приятной в своих соотношениях и говорил: Если предмет не имеет правильного облика, он не работает. Многие из его картин обладают правильным обликом, потому что он использовал Золотое сечение для того, чтобы усилить их привлекательность.

2. Золотой треугольник[8]

Золотой треугольник представляет собой равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется числу Фидия. Одним из его свойств является то что, длины биссектрис его углов при основании равны длине самого основания. Остальные свойства «вытекают» из свойств пентаграммы, которую мы рассмотрим позже.

Стороны золотого треугольника образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Одним из свойств золотого треугольника является то что, длины биссектрис его углов при основании равны длине самого основания. Остальные свойства вытекают из свойств пентаграммы, которую мы рассмотрим позже.

Построение золотого треугольника

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Точка С разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения.

3. Золотой кубоид

«Золотой кубоид» - это прямоугольный параллелепипед с ребрами. «Золотой кубоид» – это прямоугольный параллелепипед с ребрами длиной Ф, 1 и j. Площадь его поверхности равна 4Ф, а диагональ – 2. Описанная вокруг него сфера имеет радиус «1». Значит, площадь ее поверхности равна 4p. Следовательно, отношение площади поверхности этой сферы к площади поверхности «золотого кубоида» равно p / Ф.

1. Пентаграмма[9]

Пятиконечная звезда, пожалуй, является одной из самых известных фигур. Она постоянно привлекала внимание людей своим совершенством. Пифагорейцы – ученики Пифагора выбрали ее в качестве символа своего союза именно эту звезду. Ее же считали амулетом здоровья. Сейчас звезда используются на многих флагах и гербах многих стран. Почему же она так привлекает, притягивает взгляд? Дело в том, что в этой звезде есть удивительное постоянство отношений составляющих ее отрезков.

Нужно построить ее, чтобы в этом убедиться.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения. Описание построения золотого треугольника написано выше.

Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

Построения золотых пятиугольника и пентаграммы содержатся уже в «Началах» Евклида, написанных за 300 лет до нашей эры. Процесс построения циркулем и линейкой описан еще в первой главе.

Пентаграмма из церкви Святого Петра.

Структура яблока в разрезе.

Если разрезать поперёк яблоко или грушу, то мы увидим вот такую структуру расположения семян . Цветы этих деревьев так же имеют структуру пятиугольника.

Пятиконечная звезда – это вторая пространственная структура вокруг которой гнездятся мистика и в разное время у разных народов пятиконечная звезда означала разное.

У пифагорейцев - символ здоровья и совершенства, опознавательный знак общины.

В христианской символике пентаграмма символизирует пять ран Иисуса или, в числовом толковании, сумму Троицы (Отец, Сын и Дух Святой) и двойственной природы Христа (божественной и человеческой).

На фото приведена деталь отделки северного фасада Амьенского собора. Амьенский собор (фр. Cathédrale Notre-Dame d'Amiens) — самый большой из французских соборов по своему объему (200 000 м³).

Перевёрнутая пентаграмма, пятиконечная звезда с тремя лучами, направленными вниз, в начале истории христианства перевёрнутая пентаграмма трактовалась как символ Преображения Христа.

Различают также “мужскую” и “женскую” пентаграммы (женская в с двумя лучами кверху). Иногда (особенно в Алхимии) упоминается как защитный знак, так как вызванный демон не мог переступить её линий. Например, в “Фаусте” Гёте сам Мефистофель не мог покинуть комнату, пока на выходе была нарисованна пентаграмма. Тамплиеры считали Пентаграмму символом Священного Женского Начала, а в Индии пентаграмма - символ Венеры (богини Кали).[10]