Тема 10. Рекурсивные частотные цифровые фильтры благословен Господь, кто содеял все нужное нетрудным, а все трудное ненужным (стр. 3 из 4)
7. Импульсная реакция фильтра, вычисленная по (10.2.10) при подаче на вход фильтра импульса Кронекера приведена на рис. 10.2.2.
Курсовая работа 15-07. Разработка программы устранения сдвига фазы сигналов при использовании фильтров Баттеруорта.
10.3. Полосовой фильтр Баттеруорта /12/.
Как известно, полосовой фильтр можно получить непосредственной комбинацией низкочастотного и высокочастотного фильтра при перекрытии полосы пропускания фильтров. Аналогичный эффект достигается и частотным преобразованием ФНЧ, которое в этом случае имеет вид:
p = s+1/s. (10.3.1)
Подставив в (10.3.1) значения p = jW и s = jw, получим:
W = [w2-1]/w,
w2-Ww-1 = 0. (10.3.2)
Корни уравнения (10.3.2):
(w)1,2 = W/2
. (10.3.3)Расщепление спектра. При W=0 имеем w =
1, т.е. центр полосы пропускания ФНЧ (от -Wc до +Wc) расщепляется на два (как и положено, для полосовых фильтров) и смещается в точки w = 
1. Подставив в (10.3.3) граничную частоту Wс=1 нормированного ФНЧ, определяем граничные частоты нормированного полосового фильтра в виде пары сопряженных частот:w1 =
0.618, w2 = 1.618  Рис. 10.3.1. Расщепление полосы. |
Сущность произведенного преобразования наглядно видна на рис. 10.3.1. Ширина полосы пропускания нормированного ПФ равна 1.
Полученное преобразование можно распространить на полосовой фильтр с ненормированными частотами wн и wв.
Введем понятие геометрической средней частоты фильтра wо:
wо=
. (10.3.4)Ширина полосы пропускания ПФ связана (см. рис.10.3.1) с граничной частотой ФНЧ соотношением:
Dw = wв-wн = wс = wн.
В долях средней геометрической частоты:
Wн = (wв-wн)/wо = Wc. (10.3.5)
Заменяя в (10.3.4-10.3.5) значение wв на произвольную частоту w и подставляя в (10.3.5) значение ωн = ω·ωо2 из (10.3.4), получаем произвольную частоту W:
W = (w-wн)/wо = w/wo-wo/w. (10.3.6)
Отсюда, в выражении (10.1.1) вместо нормированной частоты W = w/wс можно применить функцию частоты полосового фильтра w(w):
w(w) = (w2-wо2)/[w(wв-wн)],
или, подставляя (10.3.4) вместо ωо:
w(w) = (w2-wнwв)/[w(wв-wн)]. (10.3.7)
Тем самым передаточная функция ФНЧ выражается в единицах, которые позволяют после применения преобразования (10.3.1) использовать для задания необходимые граничные частоты wн и wв полосового фильтра.
Пример расчета полосового фильтра Баттеруорта.
Техническое задание:
- Шаг дискретизации данных Dt = 0.0005 сек. Частота Найквиста fN = 1/2Dt = 1000 Гц, ωN = 6.283·103 рад.
- Нижняя граничная частота полосы пропускания: fн = 340 Гц, wн = 2.136·103 рад.
- Верхняя граничная частота полосы пропускания: fв = 470 Гц, wв = 2.953·103 рад.
- Крутизна срезов в децибелах на октаву: Кр = 45.
Расчет параметров:
 Рис. 10.3.2. |
1. Порядок фильтра по формуле (10.1.6'): N = Кр/6 = 45/6 = 7.5.
Для расчетов принимаем N=8.
2. Строим график функции H(w) =
с использованием выражения (10.3.7). Передаточная характеристика фильтра приведена на рис. 10.3.2.3. Деформированные частоты по формуле (10.1.4):
wdн = 2.366·103 рад. wdв = 3.64·103 рад. wdo = 2.934·103.
Полосовой фильтр на s-плоскости. С учетом деформации частот, принимаем p = jw = j(w2-wdнwdв)/[w(wdв-wdн)], s= jω и заменяем ω = s/j в выражении р:
р = (s2+wdнwdв)/[s(wdв-wdн)],
s2-p(wdв-wdн)s+wdнwdв = 0. (10.3.8)
Корни уравнения (10.3.8) определяют местоположение полюсов ПФ:
s = s* = p(wdв-wdн)/2
. (10.3.9)Уравнение (10.3.9) показывает расщепление каждого p-полюса, определяемых выражением (10.1.14), на два комплексно сопряженных полюса s-плоскости, произведение которых будет давать вещественные биквадратные блоки в s-плоскости. При этом следует учесть то обстоятельство, что устойчивому рекурсивному фильтру на z-плоскости должны соответствовать полюса только одной (левой) половины p- и s - плоскостей.
Передаточная функция. При применении преобразования (10.3.1) к передаточной функции в полиномиальной форме (10.1.11), получаем:
H(p) = G
1/(p-pm) - G s/(s2-pm s+1) = H(s), (10.3.10)Выражение (10.3.10) не требует нахождения полюсов, т.к. они уже известны и определяются выражением (10.3.9). С учетом этого функция H(s) может быть записана с объединением в биквадратные блоки комплексно сопряженных полюсов с вещественными коэффициентами:
H(s) = G
s/[(s-sm)(s-s*m)] = G s/(s2+am s+gm), (10.3.11)где значения аm и gm могут быть определены непосредственно по полюсам (10.3.9):
am = -2 Re sm, gm = (Re sm)2 + (Im sm)2 = |sm|2. (10.3.12)
Продолжение расчета.
 Рис. 10.3.3.  Рис. 10.3.4. |
4. Полюса фильтра на единичной окружности в р-плоскости:
pn = j·exp[j·p(2n-1)/2N], n = 1,2,…,N.
Положение полюсов приведено на рис. 10.3.3.
5. Полюса в левой половине s-плоскости, n = 1,2,…,2N
(приведены на рис. 10.3.4):
.6. По полученным значениям полюсов вычисляем коэффициенты am и gm (10.3.12), m = n.
am = 196.8, 300.4, 581.2, 834.5, 930.5, 1188, 1196, 1304.
gm = 5.64·106, 1.314·107, 5.997·106, 1.236·107, 6.742·106, 1.1·107, 7.895·106, 9.39·106.
По приведенному примеру можно заметить, что при использовании ненормированных частот w, достаточно существенных по своей величине, значения s-полюсов и, соответственно, величины коэффициентов аm и gm имеют большие порядки, что нежелательно для дальнейших расчетов и может приводить к появлению погрешностей при ограничении разрядности. Для исключения этого фактора значения полюсов sn рекомендуется нормировать на среднюю геометрическую частоту:
sn = sn/wo.
Продолжение расчета.
6'. Значения коэффициентов am и gm (10.3.12), вычисленные по нормированным значениям sn.
am = 0.067, 0.102, 0.198, 0.284, 0.317, 0.405, 0.407, 0.444.
gm = 0.655, 1.527, 0.697, 1.436, 0.783, 1.277, 0.917, 1.091.
Коэффициент g билинейного преобразования для ненормированных значений w и полюсов sn имеет классическую форму: g = 2/Dt. Соответственно, для нормированных значений: g = 2/(Dt·wo). После билинейного z-преобразования выражения (10.3.11), получаем:
H(z) = G
Gm (1-z2)/(1-bm z+cm z2). (10.3.13)Gm = 1/(g+am+gmg-1. (10.3.14)
bm = 2Gm(g-gmg-1). (10.3.15)
cm = Gm(g-am+gmg-1. (10.3.16)
Продолжение расчета (по нормированным полюсам sn).
7. Значения коэффициента g: g = 1.363.
8. Значения Gm по (10.3.14): Gm = 0.523, 0.387, 0.483, 0.37, 0.444, 0.37, 0.409, 0.384.
9. Значения bm по (10.3.15): bm = 0.924, 0.188, 0.823, 0.23, 0.7, 0.315, 0.565, 0.432.
10. Значения cm по (10.3.16): cm = 0.93, 0.921, 0.809, 0.789, 0.719, 0.701, 0.666, 0.659.
11. Общий нормировочный множитель G: G = 1.264·10-3.
12. Заключительная передаточная функция:
При построении графика данной функции можно убедиться, что она полностью соответствует рис. 10.3.2.
13. Уравнение одной секции фильтра:
ym,k = Gm·(ym-1,k - ym-1,k-2) + bm ym,k-1 – cm ym,k-2 .
Нормировкой H(z) к 1 на геометрической средней частоте фильтра определяют общий множитель G: