Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников 2 курса по специальности 040500 «фармация» Волгоград-2002 (стр. 2 из 12)

Некоторые правила приближенных вычислений.

Приближенные числа могут получиться или в результате счета большого количества предметов или при различных измерениях или в результате вычислений или при округлении чисел. Исходя из этого положения и смысла каждой задачи, решающему самому придется установить, какие данные в условии можно считать точными и какие приближенными.

Задачи с приближенными и смешанными данными нужно решать с соблюдением правил подсчета цифр, причем точные данные не влияют на количество значащих цифр в ответе.

При решении задач некоторые данные, являющиеся, вообще говоря, приближенными, часто приходится считать точными. Это величины наперед заданные, а не полученные в результате измерения или приближенного вычисления. Например, в задаче «Вычислить вес тела объемом 8 см³, если его удельный вес 2,80 г/см³.» Величину объема (8см³) следует считать числом точным. Число 2,80 г/см³ следует считать приближенным.

Обратимся теперь к правилам подсчета цифр.

При сложении и вычитании приближенных чисел в полученном результате нужно отбрасывать цифры тех разрядов справа, которых нет хотя бы в одном из данных чисел.

ПРИМЕР: 15,27+0,617+32,2 » 15,3+0,6+32,2=48,1

При умножении и делении приближенных чисел в полученном результате нужно сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим количеством значащих цифр.

ПРИМЕР: 5,63´0,8 » 6 ´ 0,8 = 4,8 » 5

3840 : 82 » 3800:82 » 47

При возведении приближенного числа в квадрат и куб в результате нужно сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень число:

ПРИМЕР: 328² »108000

3,28³ » 35,3

При извлечении квадратного корня из приближенного числа в полученном результате нужно сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число:

ПРИМЕР:

Нахождение числа из таблиц считается отдельным действием, и если действие промежуточное, то число берется с запасной цифрой.

При пользовании тригонометрическими таблицами нужно придерживаться следующих правил: если значение тригонометрической функции угла известно с двумя значащими цифрами, то величину угла следует округлять до градусов (sina» 0,48; a » 29° ) ; если значение функции известно с тремя значащими цифрами, то угол следует округлять до десятков минут (tga » 2,40 ; a» 67° 20' ); если значение функции имеет четыре значащих цифры, то величину угла округляют до одной минуты. По одной значащей цифре функции нельзя найти угол даже с точностью до градуса. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения окончательного результата с n значащими цифрами данные следует брать с таким количеством значащих цифр, чтобы предварительный результат имел n+1 цифру.

Последнее правило следует выполнять, в частности, при решении экспериментальных задач и выполнении лабораторных работ.

В заключении сделаем замечание: точность результата нужно устанавливать не только по правилам приближенных вычислений, но и оценкой смысла задачи и данных условия, например:

1. Решение задачи « Какой мощности осветительную лампу нужно ввинтить в патрон, чтобы при напряжении 127 В в лампе сила тока была 0,50 А» приводит к ответу: 64 Вт. Ламп такой мощности наша промышленность не выпускает; ближайший стандарт 60 Вт. Это число и будет правильным ответом.

2. На воздушном шаре нужно поднять груз. Сколько гелия потребуется для этой цели, если груз с шаром весит 1,7 т?

Решение задачи приводит к ответу: 1529м³, если число 1,7 т приближенное, то по правилу округления ответ нужно округлить с недостатком до 1500 м³.Однако легко сообразить, что в этом случае шар не поднимется. Поэтому по смыслу задачи ответ следует округлить с избытком. Надежным ответом будет 1600 м³. Такое округление противоречит правилу, но соответствует здравому смыслу.

Применение микрокалькулятора при решении задач

Электронно-вычислительное устройство миниатюрных размеров индивидуального пользования типа «Электроника» может быть успешно использовано при решении задач, предлагаемых на контрольных работах. Выполняя вычисления с помощью микрокалькулятора, вы экономите время, освобождая его для теоретических основ курса.

Прежде чем пользоваться микрокалькулятором, внимательно ознакомьтесь с руководством по эксплуатации:

- изучите общие сведения об устройстве;

- ознакомьтесь с правилами подготовки его к работе.

Рассмотрим решение следующих задач с применением микрокалькулятора.

1. Вычислить эффективный диаметр молекул азота, если его критическая температура 126К, критическое давление 3.40 Мпа.

Дано: Т_кр-126К; р_кр=3.40^.10⁶ Па.

Найти: d.

Решение.

Азот, согласно условию задачи, должен подчиняться уравнению Ван-дер-Ваальса:

Постоянную b в уравнении Ван-дер-Ваальса с достаточной степенью точности считают равной учетверенному собственному объему 1 моль газа. В 1 моль газа находится 6.02^.10²³ молекул (N_A= 6.02^.10²³ моль^-1), следовательно, объем одной молекулы равен

, откуда . Постоянная . Тогда

Вычисляем на калькуляторе выражение

3 Ð 8.31 ÷ 126 ÷ 16 ÷ 3.14 ÷ 3.40 ВП 6 ÷6.02 ВП 23 F

3 =

Показания индикатора: 3.126-10, т.е. 3.126 ^.10^-10.

Так как данное выражение состоит только из произведения и частного, то, согласно правилам округления, его надо округлить до такого числа значащих цифр, которое имеет наименьшее точное исходное данное.

Ответ: 3.13 ^.10^-10 м.

2. Определить, сколько ядер в 1 г радиоактивного

распадается в течение одного года.

Дано: m = 10^-3 кг; T = 27 лет; t = 1 год.

Найти: N.

Решение.

Для определения числа атомов, содержащихся в 1 г

, используем соотношение

где N_A – постоянная Авогадро; ν – число молей, содержащихся в массе данного элемента; М – молярная масса изотопа. Между молярной массой изотопа и его относительной массой существует соотношение

М = 10^-3 А кг/моль

Для всякого изотопа относительная атомная масса весьма близка к его массовому числу А, т.е. для данного случая М = 10^-3.90 кг/моль = 9^.10^-2 кг/моль.

Используя закон радиоактивного распада

,

где N₀ - начальное число нераспавшихся ядер в момент t = 0, N - число нераспавшихся ядер в момент t , λ - постоянная радиоактивного распада., определим количество распавшихся ядер стронция

в течение 1 года:

.

Учитывая, что постоянная радиоактивного распада связана с периодом полураспада соотношением λ = ln2/T, получаем

.

После подстановки численных значений, имеем

.

Вычислим на калькуляторе выражение:

.

По алгоритму:

2 lnÐ 1 ÷ 27 = /-/ F e^x xªП 1 Пªх =Ð 6.02 ВП 23 Ð1 ВП 3 /-/ ÷ 1 ВП 3 /-/ ÷ 90 =

Показания индикатора: 1.69532 20, т.е. 1.69532 ^.10²⁰.

Ответ: 1.70^.10²⁰.

Примеры решения задач.

Задача 1. Объем аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увеличился от 1 до 2 л. На сколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение производилось: а). Изобарно; б). Адиабатно.

Дано: V1=10-3 м3 V2=2 .10-3м3 p=8.105 Па М=40.10-3кг/моль i=3	Решение: Применим первый закон термодинамики. Согласно этому закону, количество теплоты Q, переданное системе, расходуется на увеличение внутренней энергии и на внешнюю механическую работу А: . (1)
Найти: ΔU-?

Величину

можно определить, знаю массу газа m, удельную теплоемкость при постоянном объеме и изменение температуры :

. (2)