На следующем этапе необходимо подвести учеников к осознанию того, что с помощью данной операции (сравнения) они могут решать те или иные задачи. Это особенно важный шаг, так как только в этом случае можно использовать прием сравнения, как определенный метод познания.
В 1 классе ученикам предлагается решить примеры и сравнить их: 2+1 2+2.
При выполнении этого задания я ставлю перед учениками ряд вопросов, обращая их внимание на то, что в одном и другом примере стоит знак плюс и первые слагаемые одинаковы. Эти примеры схожи.
Затеи выявляются различия: в первом примере второе слагаемое равно 1, во втором 2, сумма в первом примере равна 3, во втором 4. Отмечается, что во втором примере прибавляем больше (2 > 1), поэтому и получается больше. В таких случаях, выполняя задание, ученики наблюдают, выявляют различия и сходства. Но для того, чтобы учащиеся глубоко осознали внутренние взаимосвязи, существующие между суммой и слагаемыми, целесообразно преложить им такие задания, при выполнении который они учились бы наблюдать, подмечать изменения, устанавливать их причину и делать соответствующие выводы.
Благодатным материалом для этой цели служит знакомство с весами и единицами массы.
Приведу один из примеров, который учитель может использовать для этих целей:
Учитель кладет на одну чашку весов какой-либо предмет, а на другую чашку весов - иную, например, в 2 кг. Стрелки весов находятся на одном уровне. Затем на одну чашку весов ставится гиря в 1 кг, а на другую - в 2 кг. Ученики наблюдают, что положение стрелок изменилось и пытаются установить причину. Сама постановка задания - ответить на вопрос, почему изменилось положение стрелок, - требует от учеников установления цепочки умозаключений. Ученики рассуждают: стрелки весов в первом случае находились в равновесии, значит, масса предмета на левой чашке весов равна массе гири на правой чашке. Полезно зафиксировать сказанное в записи: 2 = 2. Затем на левую чашку добавили гирю в 1 кг, а на правую - в 2 кг: 2+1 .... 2+2» Положение стрелок изменилось. Масса на правой чашке стала больше, чем на левой: 2+1 < 2+2.
- Что же явилось причиной изменения?
Причина может быть только в том, что масса гири, которую поставили на правую чашку, больше массы гири, которую поставили на левую чашку: 1 < 2.
Выше было приведено задание, которое имеет место в практике: "Сравните примеры и решите их: 2+1 2+2. В этом случае ответ ученика должен быть таким!" Первые слагаемые одинаковы, а во втором случае 2>1 на 1, значит, и ответ будет на 1 больше. 2+l=3, значит, 2+2+4".
Ученик должен осознать практическую значимость сравнения, т.е. сравнение должно быть выполнено не ради самого сравнения, а явиться средством решения той или иной задачи.
С целью проведения работы в данном направлении я использую задания:
1). 6 + 1 =7. Сколько нужно прибавить к 6, чтобы получить не 7, а 8?
Ученик рассуждает: 8>7 на 1. Чтобы получить число на 1 больше семи, нужно получить на 1 больше, т. е. 2. Но ученик вправе дать ответ и сразу, на основе усвоенной таблицы, т.е. 6+2=8. В этом случае учитель обращает его внимание на сравнение данных примеров, при котором учащиеся указывают на сходства и различия и выясняют, почему получена сумма на одну единицу больше, нежели предыдущая.
2). 5+2= , 5+3= Сравните эти примеры и вычислите результат. Задача учителя - довести до сознания учащихся взаимосвязь первой и второй частей инструкции, т.е. использовать проведенное детьми сравнение для вычисления результата второго примера (3>2 на 1, значит, сумма во втором примере должна быть на 1 больше).
3). 5+3, 5+4. Могут ли в данных примерах получиться одинаковые ответы? При любом ответе ученик вынужден прибегнуть к сравнению данных примеров. Причем он делает это самостоятельно, без наводящих вопросов учителя.
4). Можно ли вместо окошечка поставить число 3,чтобы вторая запись была верной? (4+3=7, 4+ =6). Выполнение задания опять связано с необходимостью сравнить данные примеры и на основе этого прийти к определенному выводу.
5). 5+2*7
2+ =7 Какое число можно поставить вместо окошечка, чтобы второе равенство было верным? Почему?
Ответ: " этих двух примерах есть одинаковые слагаемые (2) и одинаковая сумма (7). Если в первом примере одно из слагаемых 2, а другое - 5, то и во втором примере одно из слагаемых 5, так как сумма одинаковая (7). Вывод: от перестановки слагаемых сумма не изменяется.
Использование таких заданий в процессе обучения математике решает не только задачу развития познавательных способностей, но и способствует Формированию вычислительных навыков. Это связано с тем, что данные задания могут быть выполнены на различных уровнях либо на основе проведения вычислений, либо на основе использования того или иного свойства или правила. Так, если учащиеся выполнили задание, сославшись на то или иное правило или свойство, то они подтверждают свой вывод проведением вычислительных операций (используя при этом приемы отсчитывания и присчитывания или знания таблицы сложения). Если же учащиеся выполнили задания на основе вычисления результатов, то я обращаю их внимание на сходство и различие математических выражений, тем самым подводя их к пониманию того, что задание могло быть выполнено и на основе использования того или иного правила или свойства.
Постепенно я усложняю задания, используя операцию сравнения для установления определенной закономерности. Например:
1). 10, 12, 14, 16, 18 .... По какому правилу записан данный ряд чисел? Продолжите данный ряд. (Ответ: каждое число увеличивается на 2 или записаны двузначные четные числа).
2). 17, 21, 13, 25. Перепишите числа так, чтобы каждое следующее число было на 2 единицы больше предыдущего.
3). Какие числа нужно зачеркнуть в записанном ряду» чтобы каждое следующее числе было на 2 единицы больше предыдущего? 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9.
4). Как изменится сумма? 13+2=15, 13+4=17, 13+8=21, 13+10=23. Вставьте недостающий пример так, чтобы сумма увеличивалась бы каждый раз на 2 единицы. Рассуждение: В каждой примере первое слагаемое одинаковое, а сумма должна увеличиваться на 2, значит и второе слагаемое должно увеличиваться на 2. На третьем месте должен быть пример, в котором второе слагаемое больше на 2 второго слагаемого в предыдущем примере. 6>4 на 2. На третьем месте запишем пример; 13+6=19.
5). Догадайся! По какому правилу записан каждый ряд чисел? Продолжи ряд.
а) 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6............................................
б) 2, 5, 3, 6, 4, 7, 5, 8, 6........................................
Рассуждение: в первом ряду увеличить на 2, уменьшить на 1 и т.д. Во втором ряду увеличить на 3, уменьшить на 2 и т.д. Выполняя такие задания я убедилась в том, что формирование вычислительных навыков не должно решаться на основе тренировки в решении однообразных примеров. Учащиеся должны выполнить вычислительные операции с определенной целью, которая поставлена заданием или вопросом. Только в этом случае можно научить ученика рассуждать, т.е. последовательно переходить от одного суждения к другому и в конечном итоге давать обоснованный ответ.
Так, вместо решения примеров: 5+2, 2+1, 5+3 и т.д. - я иногда предлагаю задание: "Миша и бабушка пошли на рынок. Они должны купить 3 кг картофеля, 2 кг моркови, 1 кг свеклы и 3 кг помидоров. Какие овощи может нести Миша, если ему разрешено поднимать груз не более 6 кг?".
При выполнении этого задания учащиеся производят вычислительные операции, но полученные результаты они должны соотносить с условием заданий. Именно это соотнесение и явится основой их рассуждений.
При работе над составом числа я воспользуюсь таким заданием, например: "Коля и Вова поделили между собой 7 яблок. Коля сказал, что у него столько же яблок, сколько у Вовы. Верно ли сказал Коля?". Выполняя подобные задания, ученик не может ограничиться только решением примеров, так как вопрос, предложенный в задании, заставляет его прежде всего разобраться в ситуации, проанализировать данные и соотнести результаты вычислений с поставленным вопросом, ответ на который заставит провести его то или иное рассуждение. Особо следует остановиться на заданиях, которые совсем не нашли отражения при изучении математики в 1 классе, хотя они в большей степени развивают способность к рассуждению и не менее способствуют Формировании» вычислительных навыков. Рассмотрим задание: 15 + = 15 * . Вставьте пропущенные числа и знаки, чтобы получилось верное равенство.
Особенность выполнения этого задания заключается в том, что рассуждения ученика строятся в зависимости от того, какой шаг он сделает первым. При этом возможны самые различные варианты. Например, если ученик поставит сначала знак "+" справа, то он будет иметь 15 + = 15 + .Отсюда, чтобы суммы были равны, можно поставить слева и справа только одинаковые числа (любые). Учащиеся приводят примеры. Но можно сначала поставить справа и знак "минус". Тогда выражения, стоящие слева и справа, будут равны толь ученик может начать с того, что вставит любое пропущенное число, например: 15 + = 15 * 35- Это определит другой ход рассуждения: справа можно поставить только знак "плюс", т.к. из меньшего числа нельзя вычесть больше, отсюда слева можно поставить только число 35, чтобы суммы были равны. Может быть и такой вариант: ученик сначала поставит пропущенное справа число, например, "10", получит: 15+ =15 * 10. В принципе, он может поставить справа знак "минус", но дальнейший анализ убедит его в том, что это невозможно, так как если из 15 вычесть 10, то он получит число меньше 15, а справа он может получить число, которое или больше, или равно 15. Варианты первого шага могут быть самыми различными, учитель предоставляет детям самостоятельно начать выполнение задания, а затем помогает им правильно сориентироваться в условии. В случае необходимости первый шаг может сделать учитель. Подобные задания можно составить самому учителю. Надо только иметь в виду, что математическая запись должна содержать более одного неизвестного, одно из которых учащиеся должны ввести сами.