Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности 230201 Информационные системы и технологии (стр. 7 из 18)
(3.6)
Рис. 3.2
В результате решения системы уравнений (3.6) определяются значения ПН элементов эквивалентной «звезды»
. В частном случае, когда все элементы равнонадежны:
.Если в исходной НФС может быть выделено несколько звеньев типа «треугольник», преобразование делают одновременно для всех звеньев, как это показано на рис. 3.2.
Для упрощения расчетов значений
и 
без существенной потери точности рекомендуется следующий прием. В системе уравнений (3.6) ПН P записываются через вероятности отказов 
. Если в полученной новой системе уравнений пренебречь произведениями вида 
, 
, 
и 
, то получим соотношения:
; 
; 
(3.7)Еще раз обратившись к рис.3.2, определим простое правило составления уравнений (3.7): выражение записывается обязательно для вероятностей отказа, причем этот показатель для элемента «звезды», присоединяемого к какой-либо вершине «треугольника», равен произведению показателей элементов «треугольника», прилегающих к этой же вершине. Для дальнейших расчетов делается обратный перевод показателей
в показатели 
, например,
. Этот прием преобразования отличается от предыдущего универсальностью, то есть он может быть использован для любых типов структур. Однако он отличается большей трудоемкостью процедур, что определяет условие целесообразности его применения в тех случаях, когда преобразование «треугольник» — «звезда» не подходит. Метод основан на использовании формулы полной вероятности. Сущность приема заключается в следующем.
В исходной НФС выбирают так называемый ключевой элемент с наибольшим числом связей с другими элементами структуры. После этого из исходной НФС получают две производные структуры: в первой этот элемент идеально надежен, во второй он всегда неработоспособен (отсутствует). Производные структуры могут быть представлены в виде схем или алгебраических выражений. При геометрической интерпретации в первой схеме вместо ключевого элемента ставится перемычка, во второй - делается разрыв. При алгебраической записи производных НФС их представляют в виде двух ФАЛ. Первую получают подстановкой в исходную ФАЛ вместо логической переменной ключевого элемента логическую единицу, вторую - подстановкой логического нуля. Первая производная ФАЛ умножается на истинное значение логической переменной ключевого элемента, вторая - на ее ложное значение (инверсию), после чего они арифметически суммируются. Если после первого шага разрезания производная НФС не превратится в параллельно-последовательную структуру, в каждой из них независимо друг от друга выбирают по указанному критерию следующий ключевой элемент и так до тех пор, пока преобразуемые структуры не примут параллельно-последовательный вид.
Обращаем внимание на то, что в отличие от метода «треугольник – звезда» разложение по ключевым элементам должно выполняться итеративно. Одновременный выбор сразу нескольких ключевых элементов недопустим.
Если необходимо выбрать несколько ключевых элементов, то алгебраическая форма разложения более целесообразна, так как уменьшает трудоемкость процедуры преобразований. Поэтому рассмотрим пример применения алгоритма разрезания с использованием алгебраической записи производной ФАЛ.
Для расчетов с помощью ЛВМ средней наработки до отказа необходимо пользоваться формулой:
(3.8)предварительно составив ВФ для функции ВБР невосстанавливаемой системы
через функции ВБР элементов при известном законе распределения времени их работы до отказа.Пример. Пусть ВФ имеет вид
Требуется определить
системы, если время безотказной работы элементов подчиняется экспоненциальному распределению, а 
.Решение:
; 
; 
.Аналогичный подход с использованием общей расчетной формулы:
.должен быть использован, если необходимо оценить интенсивность отказов систем.
3.2.4. Методика расчета ПН восстанавливаемых систем
Способ расчета ПН восстанавливаемых систем с использованием ЛВМ имеет существенные отличия от вышерассмотренного подхода к расчету надежности систем без восстановления. Для этого случая предложена точная математическая модель, в основу которой положено составление исходной ФАЛ в виде СКНФ (3.2). Кроме обязательной записи ФАЛ для условия работоспособности системы через СДНФ, она к тому же не преобразуется в бесповторную форму. Полученную исходную ФАЛ рекомендуется упростить с помощью операции вынесения за скобки одинаковых членов в некоторых конъюнкциях. При этом должна быть сохранена конъюнктивная форма записи ФАЛ. Сгруппированные члены конъюнкций называют звеньями схемы ненадежности системы
. ФАЛ будет иметь вид:
; 
. (3.9)Каждое звено
представляет собой параллельное соединение всевозможных минимальных наборов элементов, образующих ветвь, совместный отказ которых приводит к отказу системы в целом.Представим функцию работоспособности, записанную через СДНФ для НФС, показанной на рис.3.1, в виде конъюнктивного набора звеньев:
.Расчет ПН системы производится при следующих допущениях:
1) несмотря на повторную форму ФАЛ, зависимость отказов элементов отсутствует;
2) восстановительный ресурс не ограничен, а восстановление начинается немедленно после отказов;
3) потоки отказов и восстановлении элементов и системы близки к простейшим.
В расчете используются следующие соотношения:
а) ПН ветвей звеньев, состоящих из n элементов:
; 
; 
; (3.10)б) ПН звеньев, состоящих из m ветвей:
.Учитывая, что 
и
, можно записать: 
(3.11)в) ПН системы, состоящей из r звеньев:
, 
; 
(3.12)В заключение отметим, что если для восстанавливаемой системы требуется рассчитать только показатель
, то это можно сделать с приемлемой погрешностью по методу для систем без восстановления с составлением бесповторной ФАЛ и использованием формул (3.3) - (3.5) для перехода к ВФ, в которой в левой части вместо 
записывается 
, а в правой - вместо 
— 
.