Представление функции работоспособности в виде (3.1), включающем в каждую дизъюнкцию конъюнкции всех элементов, называют совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ), а в виде (3.2) - совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ).
Пример. В качестве примера рассмотрим функцию работоспособности системы, состоящей из трех элементов и заданной таблицей истинности 3.1.
Табл. 3.1
Функция работоспособности в СДНФ имеет вид:
Функции работоспособности, записанные в СДНФ и СКНФ, не являются минимальными. Для минимизации функции работоспособности и приведения ее к бесповторной форме могут быть непосредственно использованы вышеприведенные тождества и законы. Для минимизации функции объединяют члены, различающиеся состоянием только одного элемента:
Функции работоспособности в бесповторной форме имеет вид:
Функция работоспособности в СКНФ в соответствии с (3.2) имеет вид:
Поскольку 1+x=1, то:
Для минимизации функции перемножим члены, стоящие в первой и второй, третьей и четвертой скобках. Учитывая, что
получаем:
В соответствии с теоремой о поглощении из первой скобки уходят все конъюнкции, включающие x2 и x3, а из второй скобки x1:
И в СДНФ и в СКНФ получен одинаковый результат.
Для записи функции работоспособности в минимальной бесповторной дизъюнктивной форме могут быть использованы минимальные пути, а в конъюнктивной – минимальные сечения. Принципы их определения рассмотрены в практическом занятии 2.
Сопоставляя функции работоспособности в СДНФ и СКНФ, видим, что в них входят наборы из таблицы истинности, соответствующие y=1 и y=0. При расчете выбирают ту форму записи, которой соответствует меньшее число членов в (3.1) и (3.2).
При числе переменных более трех таблицы истинности становятся громоздкими и непосредственная минимизация функции работоспособности становится затруднительной. Для снижения размерности задачи выполняют декомпозицию функции работоспособности, опирающуюся на теорему разложения математической логики.
В качестве примера запишем функцию алгебры логики (ФАЛ) в виде СДНФ и СКНФ, описывающих условия работоспособности системы с НФС, изображенной на рис. 3.1.
Рис.3.1
ФАЛ, записанная через СДНФ по формуле (3.1), будет иметь вид:
.ФАЛ, записанная по формуле (3.2) имеет вид:
Раскрыв скобки во втором выражении и сделав несложные преобразования, нетрудно убедиться, что эти выражения тождественны, однако запись ФАЛ через СКНФ получилась более громоздкой. Эта запись необходима при оценке ПН восстанавливаемых систем, о чем будет сказано дальше. При оценке надежности невосстанавливаемых систем запись ФАЛ через СКНФ может быть рекомендована лишь в том случае, когда в НФС явно преобладают параллельные соединения элементов.
Особенностью ЛВМ является то, что для расчета ПН невосстанавливаемых и восстанавливаемых систем необходимо пользоваться различными методиками.
3.2.1. Методика расчета ПН невосстанавливаемых систем
Обязательным условием выполнения расчетов ПН для невосстанавливаемых систем является получение ФАЛ в так называемой бесповторной форме.
Как видно из приведенного примера, процедуры составления исходных ФАЛ и их приведение при необходимости в бесповторную форму для многокомпонентных систем могут оказаться весьма громоздкими и трудоемкими. Эти трудности возрастают при сетевых структурах систем, так как требуются специальные способы преобразования исходных повторных ФАЛ в бесповторные, то есть такие, в которых каждая логическая переменная присутствовала бы в прямом или инверсном виде лишь один раз. Для практического занятия достаточно изучить способ преобразования структуры типа "треугольник" в эквивалентную ей по характеристикам надежности структуру типа "звезда" и способ (алгоритм) разрезания (разложения исходной структуры по ключевым элементам).
Рекомендованные способы преобразования НФС примерно равноценны лишь при условии разложения по одному ключевому элементу. Если таких элементов в исходной структуре несколько, проще использовать метод преобразования "треугольник-звезда". Однако в отличие oт алгоритма разрезания он может быть применен только тогда, когда в НФС имеются замкнутые контуры типа "треугольник".
Перед тем, как рассмотреть способы получения бесповторных ФАЛ, сформулируем правила перехода от логической функции к вероятностной:
1) символ функции работоспособности
в левой части ФАЛ заменяется на символ вероятностного ПН системы;2) символы каждой логической переменной заменяются на вероятностный ПН соответствующего элемента системы, причем
, а 
(3.3)3) конъюнкций из
логических переменных переводится в произведение М вероятностных ПН соответствующих элементов системы 
, 
(3.4)4) дизъюнкция из М логических переменных переводится а выражение следующего вида:
, (3.5)где
; 
; 
; 
;m полный набор номеров элементов НФС;
число сочетаний из M членов по N.Перейдем к рассмотрению эквивалентных преобразований повторных ФАЛ в бесповторные.
3.2.2 Преобразование структуры типа «треугольник» в структуру типа «звезда»
Сущность этого приема поясняется с помощью рис.3.2. Исходя из основного критерия эквивалентного преобразования равенства ПН цепей «треугольника» и «звезды» между одинаковыми точками и учитывая правила перехода от ФАЛ к ВФ (3.3) - (3.5), можно для структуры, показанной на рис. 3.2, составить систему уравнений: