Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности 230201 Информационные системы и технологии (стр. 4 из 18)

,

где

.

Таким образом, при основном соединении элементов, имеющих экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы, закон распределения времени безотказной работы системы также будет экспоненциальным, в соответствии с этим имеем:

; ; ; (2.4)

При резервном соединении т элементов, имеющих экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы, вероятность отказа группы параллельно включенных элементов:

. (2.5)

Если все элементы равнонадежны и

, то

; .

Таким образом, при резервном соединении элементов экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы не сохраняется.

Рис. 2.2. Мостиковая схема соединения элементов

Во многих случаях рассмотренный выше способ расчета надежности не может быть использован, так как не всегда схема надежности содержит последовательно-параллельное соединение элементов.

Существуют несколько разновидностей классического метода расчета надежности систем со сложной структурой, часть из которых будет рассмотрена ниже применительно к анализу надежности мостиковой схемы, изображенной на рис. 2.2. (Эта схема не сводится к последовательно-параллельному соединению элементов.) Для всех элементов схемы известны вероятности безотказной работы р₁, р₂, р₃, р₄, p₅ и соответствующие им вероятности отказа типа «обрыв» q₁, q₂, q₃, q₄, q₅. Необходимо определить вероятность наличия цепи между точками а и b схемы.

Метод перебора состояний. Расчету надежности любой системы независимо от используемого метода предшествует определение двух непересекающихся множеств состояний элементов, соответствующих работоспособному и неработоспособному состояниям системы. Каждое из этих состояний характеризуется набором элементов, находящихся в работоспособном и неработоспособном состояниях. Поскольку при независимых отказах вероятность каждого из состояний определяется произведением вероятностей нахождения элементов в соответствующих состояниях, то при числе состояний, равном т, вероятность работоспособного состояния системы

; (2.6)

вероятность отказа

, (2.7)

где т — общее число работоспособных состояний, в каждом j -м из которых число исправных элементов равно i_j , а вышедших из строя — k_j .

Расчет с использованием метода перебора состояний удобно представить в виде табл. 2.1, где знаком плюс отмечены работоспособные состояния, а знаком минус — неработоспособные. В числовом примере все элементы приняты равнонадёжными с вероятностью безотказной работы, равной 0,9, за заданное время:

.

Из рассмотренного примера видно, что даже при сравнительно простой структуре применение метода перебора состояний сопряжено с громоздкими выкладками.

Табл 2.1

Номер состояния	Состояние элементов					Вероятность состояний
	1	2	3	4	5
1	+	+	+	+	+	p1p2p3p4p5=0,95
2	-	+	+	+	+	p2p3p4p5q1
3	+	-	+	+	+	p1p3p4p5q2
4	+	+	-	+	+	p1p2p4p4q3 0,1*0,94
5	+	+	+	-	+	p1p2p3p5q4
6	+	+	+	+	-	p1p2p3p4q5
7	-	+	-	+	+	p2p4p5q1q3
8	-	+	+	-	+	p2p3p5q1q4
9	-	+	+	+	-	p2p3p4q1q5
10	+	-	-	+	+	p1p4p5q2q3
11	+	-	+	-	+	p1p3p5q2q4 0,12*0,93
12	+	-	+	+	-	p1p3p4q2q5
13	+	+	-	+	-	p1p2p4q3q5
14	+	+	+	-	-	p1p2p3q4q5
15	-	+	-	+	-	p2p4q1q3q5 0,13*0,92
16	+	-	+	-	-	p1p3q2q4q5

Метод разложения относительно особого элемента. Этот метод основан на использовании формулы полной вероятности. В сложной системе выделяется особый элемент, все возможные состояния H_i которого образуют полную группу,

. Если анализируемое состояние системы А, то его вероятность

, (2.8)

Второй сомножитель в (2.8) определяет вероятность состояния А при условии, что особый элемент находится в состоянии H_i. Рассмотрение H_i -го состояния особого элемента как безусловного позволяет упростить структурную схему надежности и свести ее к последовательно-параллельному соединению элементов.

Так, в рассматриваемой мостиковой схеме выделение элемента 5 в качестве особого с двумя возможными состояниями (1 — наличие и 2 —отсутствие цепи) Р{Н₁}=р₅; Р{Н₂}=q₅ позволяет от структурной схемы, представленной на рис. 2.2, перейти при безусловно исправном состоянии элемента 5 к схеме, представленной на рис. 2.3, а, При отказе элемента 5 структурная схема имеет вид, представленный на рис. 2.3, б. Если состояние А — наличие цепи между а и b, то в соответствии с (2.1) и (2.2) имеем:

;

.

Рис. 2.3. Структурные схемы мостикового соединения элементов, соответствующих наличию (а) цепи в элементе 5 и ее отсутствию (б)

Сопоставление обоих методов расчета надежности показывает, что выделение особого элемента с последующим анализом упрощенных структурных схем существенно сокращает выкладки.

Метод минимальных путей и сечений. В ряде случаев для анализа надежности сложной системы бывает достаточным определить граничные оценки надежности сверху и снизу.

При оценке вероятности безотказной работы сверху определяют минимальные наборы работоспособных элементов (путей), обеспечивающих работоспособное состояние системы. При формировании пути, считая, что все элементы находятся в неработоспособном состоянии, последовательным переводом элементов в работоспособное состояние производят подбор вариантов соединений элементов, обеспечивающих наличие цепи.

Набор элементов образует минимальный путь, если исключение любого элемента из набора приводит к отказу пути. Из этого вытекает, что в пределах одного пути элементы находятся в основном соединении, а сами пути включаются параллельно. Так, для рассмотренной мостиковой схемы (см. рис. 2.2) набор минимальных путей представлен на рис. 2.4. Поскольку один и тот же элемент включается в два параллельных пути, то в результате расчета получается оценка безотказности сверху:

.

При определении минимальных сечений осуществляется подбор минимального числа элементов, перевод которых из работоспособного состояния в неработоспособное вызывает отказ системы. При правильном подборе элементов сечения возвращение любого из элементов в работоспособное состояние восстанавливает работоспособное состояние системы. Поскольку отказ каждого из сечений вызывает отказ системы, то первые соединяются последовательно. В пределах каждого сечения элементы соединяются параллельно, так как для работы системы достаточно наличия работоспособного состояния любого из элементов сечения.