Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности 230201 Информационные системы и технологии (стр. 2 из 18)
Нормальное распределение. В отличие от экспоненциального нормальное распределение используют для описания таких систем и особенно их элементов, которые подвержены действию износа. Функция и плотность распределения наработки до отказа Т при этом соответственно будут:
; (1. 8)
, (1.9)где
и т — параметры нормального распределения.Средняя наработка до отказа и дисперсия наработки до отказа:
=m; D[T]= 2. (1. 10)Для практического использования соотношений (1.8) и (1.9) перейдем от случайной величины Т к иной случайной величине
Z=(T—m)/
, (1.11)имеющей математическое ожидание M[Z]=0 и дисперсию D[Z] = 1.
Согласно правилам определения закона распределения функции случайного аргумента плотность распределения величины Z:
Соответственно функция распределения величины Z
Очевидно, что функция
является симметричной, т. е. 
= 
, а следовательно, 
В таблицах часто приводят значения не функции Ф(z), а несколько иной функции
(1.12)Функции Ф(z) и Ф0 связаны между собой соотношением
(1.13)Приведем значения функции (1.12) для нескольких положительных z:
Ф0(0,5) =0,191; Ф0(1) =0,343; Ф0(2) =0,477.
Нормальное распределение описывает поведение случайных величин в диапазоне (—
, ). Однако наработка до отказа является неотрицательной величиной, чтобы это учесть, вместо нормального в принципе должно использоваться усеченное нормальное распределение. Область возможных значений случайной величины Т может быть различной; ниже примем, что эта область (0, ), и проведем усечение распределения в точке t = 0. Тогда функция распределения случайной величины Т имеет вид: 
где с — нормирующий множитель;
, т — параметры распределения.При этом плотность распределения
Значение с выбирают из условия, что площадь под кривой плотности распределения равна единице. Использовав подстановку (1.11), можно показать, что
В усеченном нормальном распределении средняя наработка до отказа и дисперсия наработки до отказа
; 
где
,Усеченное нормальное распределение обычно применяют, если m<3
. В противоположном случае использование более простого нормального (неусеченного) распределения дает достаточную точность.Распределение Вейбулла — Гнеденко. В теории надежности получило применение распределение Вейбулла — Гнеденко, описываемое функцией и плотностью распределения соответственно
; 
Это двухпараметрическое распределение, где параметр k определяет вид плотности распределения, параметр 
— его масштаб. Так, при k=1 распределение Вейбулла — Гнеденко совпадает с экспоненциальным, когда интенсивность отказов постоянна; при k>1 интенсивность отказов монотонно возрастает, при k <1 монотонно убывает. Распределение Вейбулла — Гнеденко может быть применено для описания наработки до отказа ряда электронных и механических технических средств, включая период приработки.
Соотношения для определения показателей надежности для трех рассмотренных выше распределений даны в табл. 1.1.
Табл. 1.1
| Распре-деление | Функция надёжности P(t) | Плотность распределения  | Интенсивность отказов  | Средняя наработка до отказа  |
| Экспонен-циальное |  |  |  |  |
| Нормаль- ное |  |  | см. прим. |  |
| Вейбулла-Гнеденко |  |  |  |  |
Примечание:
, 
, 
, 
, 
, 
- параметры соответствующих распределений; Г-гамма функция.1.3 Примеры решения аудиторных задач
Пример 1. Функция вероятности безотказной работы (ВБР) системы описывается выражением
.Необходимо определить значение ВБР и среднюю наработку до отказа системы для оперативного времени t=100 ч, если интенсивности отказов ее элементов
.Неправильное решение задачи:
, 
.Правильное решение задачи:
ч. 
.Пример 2. Функция ВБР объекта имеет вид
. Необходимо определить интенсивность отказов и среднюю наработку до отказа при значениях параметра а: 
, и 
, если оперативное время составляет 
.