Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности 230201 Информационные системы и технологии (стр. 12 из 18)

Снова применяя формулу (4.19), находим вероятности состояний на втором шаге:

Далее получим:

Мы убедились, что с возрастанием k вероятность поглощающего состояния p₄(k) растет, тогда как вероятность p₁(k) состояния s₁ убывает.

4.4. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Рассматривается система S – станок с числовым программным управлением (ЧПУ), который может находиться в следующих состояниях:

S₁ – исправен и работает;

S₂– неисправен; неисправность не обнаружена;

S₃ – неисправен, проводится средний ремонт;

S₄ – не работает, находится на профилактике;

S₅ – неисправен, проводится капитальный ремонт.

Размеченный граф состояний станка с ЧПУ показан на рис. 4.6. Найти вероятности состояний станка с ЧПУ.

P₁₄ P₄₁

P₄₃ P₄₅

P₃₁ P₅₁

P₁₂

P₂₃ P₂₅

Рис. 4.6

4.5 Контрольные вопросы и задания

1. При каких условиях марковские процессы с дискретным временем могут быть использованы для анализа надежности систем?

2. Какие характеристики надежности могут быть рассчитаны с использованием матрицы переходов?

3. Что называется ориентированным графом состояний?

4. Какой процесс называется процессом гибели и размножения?

5.Какой процесс называется марковским?

6. Какое условие должно выполняться для марковского процесса с дискретными состояниями и дискретным временем?

7. Какова основная задача исследования марковских цепей?

8. Что называется переходными вероятностями?

9. Какова методика определения вероятностей задержки системы в определенном состоянии?

10. Какая цепь Маркова называется однородной?

11. Какова методика нахождения распределения вероятностей состояний системы?

5. Марковские процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем

5.1 Цель занятия

Освоение студентами методики расчетов надежности сложных систем с использованием метода переходных интенсивностей, использующего аппарат марковских процессов с непрерывным временем.

В результате проведения занятия студенты должны знать:

особенности расчета надежности сложных систем с использованием метода переходных интенсивностей, методологические основы этого метода и условия его применения для аналитической оценки ПН восстанавливаемых систем.

Студенты должны уметь практически использовать положения метода переходных интенсивностей в инженерных расчетах надежности сложно-структурных систем с восстановлением; строить размеченный граф состояний системы; составлять систему уравнений Колмогорова непосредственно по виду графа состояний; определять вероятности состояний системы по размеченному графу состояний системы.

5.2 Основные теоретические положения по теме занятия

Случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется марковским, если для любого момента времени t условные вероятности всех состояний системы S в будущем (при t<t₀) зависят только от того, когда и каким образом система пришла в это состояние. Другими словами, в марковском процессе будущее зависит от прошлого только через настоящее.

Переходы системы S из работоспособного состояния в неработоспособное происходит под действием потока отказов, а переход системы из неработоспособного в работоспособное – под действием потока восстановлений.

Теорию марковских процессов с дискретным состоянием и непрерывным временем будем излагать, предполагая, что переходы из состояния в состояние происходят под действием пуассоновских потоков событий (не обязательно стационарных).

Отсутствие последействия в пуассоновском потоке позволит при фиксированном настоящем не заботиться о том, когда и как система оказалась в этом состоянии.

Пусть на графе состояний системы S существует стрелка, ведущая из состояния s_i в одно из соседних состояний s_j (рис. 5.1).

λ_ij (t)

Рис. 5.1

Будем считать, что переход системы из работоспособного состояния s_i в состояние отказа s_j осуществляется под воздействием пуассоновского потока отказов с интенсивностью

. Переход из s_i в s_j происходит в момент наступления первого отказа.

Вероятность перехода системы из работоспособного состояния s_i, в в котором она находилась в момент времени t, в неработоспособное состояние s_j за элементарный промежуток времени

, непосредственно примыкающий к t, приближенно равна

, где

- интенсивность пуассоновского потока отказов, переводящего систему из работоспособного состояния s_i в неработоспособное s_j.

Представим для вероятностей p_i(t) систему обыкновенных дифференциальных уравнений (1) с переменными (в общем случае) коэффициентами. Эти уравнения называются уравнениями Колмогорова (по имени академика Колмогорова, предложившего такой метод анализа марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем):

(i=1, 2, …, n). (5.1)

Первая сумма в правой части формулы (5.1) распространяется на те значения j, для которых возможен непосредственный переход из состояния отказа s_j в работоспособное состояние s_i (т. е. для которых

), а вторая – на те значения j, для которых возможен непосредственный переход из работоспособного состояния s_i в состояние отказа s_j (т. е.

Систему дифференциальных уравнений (5.1) решают при начальных условиях, задающих вероятности состояний в начальный момент при t=0:

(5.2)

причем для любого момента времени t выполняется нормировочное условие:

. (5.3)

Это следует из того, что в любой момент t события

образуют полную группу несовместных событий. Нормировочное условие (5.3) можно использовать вместо одного (любого) из дифференциальных уравнений (5.1).

При составлении системы дифференциальных уравнений (5.1) удобно пользоваться размеченным графом состояний системы, где возле каждой стрелки, ведущей из состояния s_i в состояние s_j, стоит интенсивность

пуассоновского потока отказов. Если

, ни стрелка, ни соответствующая интенсивность на размеченном графе не ставятся.

Получить систему уравнений (5.1) можно непосредственно по виду графа состояний, если пользоваться следующим правилом: для каждого из возможных состояний системы записывается уравнение, в левой части которого

, а справа – столько слагаемых, сколько стрелок графа соприкасается с данным состоянием. Если стрелка направлена в данное состояние, то перед слагаемым ставится плюс, если стрелка направлена из данного состояния – минус. Каждое из слагаемых будет равно произведению интенсивности перехода из данного состояния (либо в данное состояние) на вероятность состояния, из которого выходит стрелка.

Решение системы уравнений (5.1) осуществляется по известным правилам решения системы дифференциальных уравнений. Однако его можно существенно упростить, если учесть, что рассматриваемый процесс – процесс марковский стационарный, для которого производные

можно принять равными нулю (вероятности состояний не меняются с течением времени). Система дифференциальных уравнений (5.1) переходит при этом в систему алгебраических уравнений.