Тема 11. Адаптивная фильтрация цифровых данных пусть они постараются подчинить себе обстоятельства, а не подчиняются им сами (стр. 2 из 7)

На практике точка максимальной оптимальности флюктуирует около теоретически возможной. Если входной сигнал нестационарный, то изменение статистик сигнала должно происходить достаточно медленно, чтобы коэффициенты фильтра успевали следить за этими изменениями.

Рекурсивные схемы наименьших квадратов отличаются тем, что вычисление каждой последующей выборки коэффициентов h(n) производится не только по коэффициентам только одной предыдущей выборки, но и с определенной длиной постепенно затухающей памяти по предшествующим выборкам, что позволяет снижать флюктуации оценок при обработке стационарных сигналов.

11.2. Основы статистической группировки информации.

При построении систем адаптивной фильтрации данных большое значение имеют статистические характеристики обрабатываемых сигналов и шумов, их стационарность, и наличие какой-либо дополнительной информации, коррелированной с основной. Возможность использования дополнительной информации при построении адаптивных систем рассмотрим на конкретном примере – системе адаптивной фильтрации данных непрерывных ядерногеофизических измерений.

Предпосылки метода. Физической величиной, регистрируемой в процессе ядерно-физических измерений в геофизике, обычно является частота импульсных сигналов на выходе детекторов ионизирующего излучения в интегральном или дифференциальном режиме амплитудной селекции. Значения измеряемой величины, как статистически распределенной по своей природе, могут быть определены только путем усреднения числа актов регистрации ионизирующих частиц по интервалам времени. Зарегистрированное количество импульсов определяет статистическую погрешность единичного измерения, а временной интервал усреднения, обеспечивающий нормативную погрешность – их производительность. Для методов с непрерывной регистрацией информации во времени (или в пространстве) временное окно измерений определяет также временную (или пространственную, с учетом скорости перемещения детектора) разрешающую способность интерпретации результатов измерений, при этом эффективность регистрации информации обычно ограничена условиями измерений и/или техническими средствами их исполнения. Типичный пример - каротаж скважин, где возможности увеличения интенсивности потоков информации ограничены параметрами эффективности регистрации и чувствительности детекторов излучения, которые зависят от их типа и размеров. Размеры детекторов, естественно, существенно зависят от размеров скважинных приборов, которые, в свою очередь, ограничены диаметрами скважин.

Ниже рассматривается возможность повышения точности и производительности непрерывных ядерно-физических измерений, для наглядности, применительно к условиям измерений в варианте скважинного гамма-опробования, хотя в такой же мере она может быть использована в авто- и аэрогаммасъемке, при радиометрическом обогащении руд, в рентгенорадиометрии и других методах ядерной геофизики. Предполагается, что регистрация данных производится в цифровой форме с накоплением отсчета по постоянным интервалам дискретизации данных (по времени и по пространству, при условии постоянной скорости перемещения детектора).

В общем случае полезная (целевая) информация может присутствовать в нескольких энергетических интервалах спектра излучения. Рабочими интервалами измерений обычно считаются участки спектра, где полезная информация присутствует в "чистом" виде либо в смеси с помехами (фоном), значение которых может быть учтено при обработке результатов измерений. Так, например, при гамма-опробовании пород на содержание естественных радионуклидов (ЕРН) регистрируется излучение с энергией более 250-300 кэВ, представленное в основном первичными и однократно рассеянными квантами, плотность потока которых пропорциональна массовой доле ЕРН в породах. Плотность потока излучения в низкоэнергетическом интервале спектра (20-250 кэВ, в основном многократно рассеянное излучение) также зависит от массовой доли ЕРН, но эта зависимость является параметрически связанной с эффективным атомным номером излучающе-поглощающей среды в области детектора, вариации которого по стволу скважины могут приводить к большой погрешности интерпретации результатов измерений. Между тем плотность потока информации (относительно массовой доли ЕРН) в интервале 20-250 кэВ много выше, чем в интервале более 250 кэВ, особенно при регистрации излучения сцинтилляционными детекторами малых объемов, которые имеют повышенную чувствительность именно к низкоэнергетической части спектра излучения.

Задача статистической группировки информации в потоках сигналов в общей и наиболее простой форме может быть сформулирована следующим образом. Полезная информация присутствует в двух статистически независимых потоках сигналов (в двух неперекрывающихся интервалах спектра излучения). В первом потоке сигналов, условно- основном, полезная информация присутствует в "чистом" виде: плотность потока сигналов пропорциональна определяемой физической величине. Во втором потоке, условно-дополнительном, на полезную информацию наложено влияние дестабилизирующих факторов, значение которых неизвестно. При отсутствии дестабилизирующих факторов коэффициент корреляции средних значений плотностей потоков в этих двух потоках сигналов постоянен и близок к 1. Для снижения статистической погрешности измерений требуется осуществить извлечение полезной информации из дополнительного потока сигналов и ее суммирование с основным потоком.

Обозначим потоки, а равно и частоты основного и дополнительного потоков сигналов индексами n и m (импульсов в секунду), связь потоков по частотам индексом х = m/n. Определению подлежит частота потока n. Значение х может изменяться за счет влияния дестабилизирующих факторов на поток m и в общем случае представляет собой случайную величину, распределенную по определенному закону с плотностью вероятностей Р(х), математическим ожиданием

, и дисперсией D_x.

На основе теоремы Байеса, плотность вероятностей распределения частоты n по измеренному за единичный интервал t числу отсчетов сигнала N определяется выражением:

P_N(n) = P(n) P_n(N) /P(N), (11.2.1)

P_n(N) = (nТ)^N e^-nt /N! , (11.2.2)

P(N) =

P_n(N) P(n) dn, (11.2.3)

где: P(n) - априорная плотность вероятностей частоты n, P_n(N) - апостериорное распределение вероятностей числовых отсчетов N (закон Пуассона). Принимая в дальнейшем в качестве искомой величины значения отсчетов z=nt по интервалам t (экспозиция цифровых отсчетов или скользящее временное окно аналоговых данных) и подставляя (11.2.2, 11.2.3) в (11.2.1), получаем:

P_N(z) = P(z) z^N e^-z /

P(z) z^N e^-z dz. (11.2.4)

При неизвестном распределении значений z априорная плотность распределения P(z) принимается равномерной от 0 до ¥, при этом из выражения (11.2.4) следуют общеизвестные выражения:

z = D_z = N+1 @ N, (11.2.5)

d_z² = D_z /z² = 1 /(N+1) @ 1/N. (11.2.6)

Значениями единиц в выражениях пренебрегаем, что не только корректно в условиях "хорошей" статистики, но и необходимо в режиме последовательных непрерывных измерений для исключения смещения средних значений.

Как следует из теории гамма-каротажа (ГК) и достаточно хорошо подтверждено практикой гамма-опробования, пространственная разрешающая способность гамма-каротажных измерений при интерпретации результатов ГК на содержание естественных радиоактивных элементов в породах по стволу скважин в среднем составляет 10 см, а в скважинах малого диаметра может даже повышаться до 5-7 см. Однако реализация такой разрешающей способности возможна только в условиях достаточно "хорошей" статистики. Коэффициент усиления дисперсии помех цифровых фильтров деконволюции, которые используются при интерпретации ГК, в среднем порядка 12 и изменяется от 4 до 25 в зависимости от плотности пород, диаметра скважин, диаметра скважинных приборов и пр. Отсюда следует, что для достижения разрешающей способности в 10 см при нормативной погрешности дифференциальной интерпретации не более 10-20 % статистическая погрешность измерений не должна превышать 3-7 %. А это, в свою очередь, определяет объем отсчета за единичную экспозицию не менее 200-1000 импульсов. При гамма-каротаже последнее возможно только для пород с относительно высоким содержанием ЕРН (более 0.001 % эквивалентного урана), при использовании детекторов больших размеров (с эффективностью регистрации более 10 имп/сек на 1 мкР/час) и при низкой скорости каротажа (не более 100-300 м/час). В той или иной мере эта проблема характерна для всех методов ядерной геофизики, и особенно остро стоить в спектрометрических модификациях измерений.

Вместе с тем следует отметить, что процесс непрерывных измерений имеет определенную физическую базу как для применения методов регуляризации результатов интерпретации данных, так и для регуляризации непосредственно самих статистических данных (массивов отсчетов N) при их обработке.

Простейшим способом подготовки цифровых данных для интерпретации является их низкочастотная фильтрация методом наименьших квадратов (МНК) или весовыми функциями (Лапласа-Гаусса, Кайзера-Бесселя и др.). Однако любые методы низкочастотной фильтрации данных снижают пространственную разрешающую способность интерпретации, так как кроме снижения статистических флюктуаций приводят к определенной деформации частотных составляющих полезной части сигнала, спектр которого по условиям деконволюции должен иметь вещественные значения вплоть до частоты Найквиста. В определенной мере ликвидировать этот негативный фактор позволяет метод адаптивной регуляризации данных (АРД).