«Применение ит в функциональном анализе» (стр. 3 из 4)
Пакет имеет хорошие графические возможности. Результат можно изобразить в форме 2D и 3D графиков. Вычерчивание графиков возможно в декартовой и полярной системе координат, сами графики могут быть представлены в виде кривых, поверхностей, столбиковых, разнесённых, секторных и векторных диаграмм. Любые составляющие документа в MathCad, включая численные данные, графики и изображения, могут быть анимированы.
Пакет имеет удобные возможности импорта/экспорта данных. Например, можно работать с электронными таблицами Microsoft Excel прямо внутри MathCad-документа. Есть возможность сохранения документов как в виде HTML-файлов (для выдачи результатов в Интернет), так и в качестве Word-документов.
Итак, преимущества MathCad – это простота, естественная запись математических формул и, как следствие этому, отсутствие необходимости изучения специализированного языка, возможность оформления документа в любой форме, наличие справочника математических формул и констант, способность работы на платформах с самыми скромными вычислительными и системными ресурсами.
Недостаток, очень большой для математиков, - отсутствие возможности решения сложных, специфических, с огромными вычислениями задач.
В общем, MathCad - это простая и удобная программа, которую можно рекомендовать широкому кругу пользователей, в том числе не очень разбирающимся в математике и программирование.
Сравнение систем непродуктивно. У каждой программы есть свои достоинства и недостатки, свои приверженцы. К тому же сопоставления Mathematica, Maple и MathCad вообще не имеют смысла. Разработчики каждого из пакетов преследовали разные цели. Для разработчиков Mathematica, Maple - это возможность решения специфических, узконаправленных, серьезных, с большими вычислениями задач. Для разработчиков MathCad – это простота в использовании, наглядность, ориентация на широкую аудиторию, включая и тех, кто не очень ориентируется в математике и программировании. Поэтому каждый сам для себя выбирает, какой пакет использовать в силу своих потребностей, знаний, умений разбираться в новом. Конечно, те, кто всерьез применяет системы компьютерной математики, должны работать с несколькими системами.
2. Проблема применения Mathematica и любого другого пакета для решения задач по функциональному анализу состоит в том, что все программы проводят вычисления над полем действительных чисел R. Функциональный анализ же работает с метрическими, топологическими, гильбертовыми, банаховыми пространствами. Поэтому найти тот же предел, определить, является функция непрерывной или разрывной, решить интегральное уравнение без дополнительных действий нельзя. А при вычислении интеграла Лебега вообще программные пакеты мало чем помогут.
Пример. Найти предел последовательности xn (t) =
точек метрического пространства С[0, 2].Решение. Если в пакете Mathematica выполнить действие
,то программа выдаст ответ 0.
Однако предел последовательности xn (t) точек метрического пространства С[0, 2] равен не 0, а t. Действительно, оценим расстояние между xn и пределом а = t в пространстве С[0, 2].
r( xn, a) =
.Поскольку встроенные функции (Max, Maximize, FindMaximum, NMaximize) Mathematica не ищут максимум функций, содержащих независимые переменные (в нашем случае n), то будем искать его по стандартному алгоритму.
Вычислим разность
: 
Она равна
Найдем нули производной от разности
: 
-2n Ï [0, 2]. Поэтому ищем только значения функции на концах отрезка, то есть в точках t = 0, t = 2.
0
Понятно, что максимум находится в t = 2 и он равен
. Находим предел этого максимума 
0
Значит, действительно предел последовательности xn (t) точек метрического пространства С[0, 2] равен t.
Пример. Выяснить является ли отображение F:l1 ® C, заданное
Формулой
непрерывным, равномерно непрерывным, удовлетворяющим условию Липшица.Решение. Покажем, что данное отображение непрерывное, то есть надо показать
"e > 0 $ d(e, x0) > 0
.Зададим в Mathematica отображение F(х).
Найдем расстояние между точками
Но модуль от суммы меньше суммы модулей, поэтому верно
По условию
, отсюда, можно заменить в предыдущем выражении сумму на d и, так как сумма меньше d, то и каждое слагаемое меньше, значит, заменяем и 
на d, одновременно преобразуем вторую скобку. 
Таким образом, отображение F(х) непрерывное
Покажем, что F(х).не равномерно непрерывное. Для этого надо привести контрпример. Понятно, что никакой пакет не в состоянии его сгенерировать. Необходимо самим придумать что-нибудь подходящее.
Возьмем две последовательности
Оценим расстояние между ними:
0
Оценим расстояние между F(хх) и F(уу):
¥
Значит, F(х) не равномерно непрерывное, а отсюда оно не удовлетворяет условию Липшица.
Глава 4 Обсуждение результатов
Как видно из примеров, пакет Mathematica мало чем помогает при решении задач по функциональному анализу. Возникает ряд трудностей. Необходимо в совершенстве владеть специфическим языком пакета, нет единого алгоритма решения примеров несмотря на одинаковую постановку вопроса. Все основные шаги к решению принимаются пользователем. Пакет бесполезен при решении задач на приведение контрпримеров. В данном случае его можно использовать только для проверки гипотезы.
Хотелось бы, чтобы в пакете было возможным производить вычисления хотя бы в основных специфических пространствах, чтобы какие-то общие закономерности решений были выявлены и реализованы.