Методические указания по выполнению лабораторной работы №4 по курсу “Цифровая обработка сигналов” томск 2010 (стр. 1 из 3)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Томский политехнический университет
| ²УТВЕРЖДАЮ² Декан ЭФФ ____________ Евтушенко Г.С. «_____» ____________ 2010 г. |
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ПАКЕТЕ ПРОГРАММ MATLAB
Методические указания
по выполнению лабораторной работы №4
по курсу “Цифровая обработка сигналов”
ТОМСК 2010
Лабораторная работа №4
Спектральный анализ в пакете программ MATLAB
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ.
1.1. изучение функций MATLAB Simulink для анализа спектра сигналов;
1.2. исследование преобразования спектра сигналов при прохождении через аналоговые фильтры.
2. КРАТКИЕ ПОЯСНЕНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
2.1. Анализ спектра сигналов методом ДПФ (БПФ)
2.1.1. Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ), иллюстрируемое рис. 1, соответствует выборкам непрерывного преобразования Фурье (или спектра)
дискретной последовательности x(n) конечной длины N1, вычисленным на дискретных равностоящих частотах ωk= k×∆ω:  | (1) |
где ∆ω=ωд/N – шаг дискретизации по частоте; N – число вычисляемых частотных выборок ДПФ в полосе частот {0 − ωд}, в общем случае не равное N1; k = 0, 1... N–1 – номер частотной выборки.
Рис. 1. Дискретизация сигнала в частотной области
Выбор шага дискретизации по частоте определяется возможностью восстановления сигнала x(n) и его непрерывного спектра
по ДПФ.Восстановление сигнала по дискретизированному по частоте спектру осуществляется с помощью обратного ДПФ (ОДПФ):
 | (2) |
Сигнал xp(n) периодичен с периодом N:
, i = 0, ±1, .. и связан с сигналом x(n) соотношением 
.Преобразования ДПФ − ОДПФ (1), (2) представляют как в виде функции дискретной частоты ωk, так и номера частотной выборки k:
 , k = 0, 1... N – 1. | (3) |
 , n = 0, 1... N – 1. | (4) |
Вычисление ОДПФ и ДПФ требует N2 операций умножения и N×(N−1) операций сложения комплексных чисел.
Оба преобразования используют единый вычислительный алгоритм, основанный на их достаточно простой взаимосвязи:
 , | (5) |
где * − операция комплексного сопряжения.
При N ≥ N1 xp(n) = x(n), n = 0, 1.. N – 1, т.е. сигнал xp(n) на интервале 0…N–1 точно совпадает с исходным сигналом x(n), дополненным (N – N1) нулевыми отсчетами и является периодическим его продолжением за пределами этого интервала (рис. 2). ОДПФ, вычисляемое на интервале 0…N–1, обеспечивает в данном случае точное восстановление сигнала x(n) по его ДПФ.
При N < N1 ( ∆ω = ωд/N > ωд /N1) имеет место перекрытие периодизированных с периодом N последовательностей x(n) (явление наложения во временной области), так что xp(n) ≠ x(n) при n = 0.. N1−1 (рис. 3). Это исключает возможность точного восстановления сигнала по его дискретизированному спектру.
Рис. 2. Сигнал, соответствующий ОДПФ при N ≥ N1
Рис. 3. Сигнал, соответствующий ОДПФ при N<N1
2.1.2. Анализатор спектра на основе ДПФ
В основе анализаторов спектра, использующих ДПФ, лежит базовая структура, приведенная на рис. 4. Она реализует базовые операции анализатора спектра – взвешивание и вычисление ДПФ. Ее выходом является вектор ДПФ входной в общем случае не ограниченной по длине последовательности x(n), усеченной весовой функцией w(n) конечной длины N:
 , | (6) |
k=0,1, …N–1.
Здесь
– преобразуемая входная последовательность ДПФ; ωk=k×ωд/N или fk=k×fд/N – частоты анализа, называемые также бинами ДПФ: 1 бин равен шагу дискретизации сигнала в частотной области fд/N. Анализатор имеет N разнесенных по частоте на 1 бин (fд/N) каналов анализа с центральными частотами ωk (fk), при этом значения k=0,1,…N–1 соответствуют номеру канала, номеру бина или номеру частотной выборки ДПФ 
. Весовая функция представляет окно, через которое наблюдается входной сигнал, длиной ее определяется время анализа Tа=N×Tд или время наблюдения сигнала. 
Рис. 4. Структурная схема анализатора спектра на основе ДПФ
Умножению или взвешиванию во временной области соответствует свертка в частотной, поэтому вычисляемое ДПФ фактически является дискретизированной сверткой истинного спектра анализируемого сигнала X(j×ω) с частотной характеристикой (спектром) весовой функции W(j×ω):
, где * – символ свертки, т.е. содержит систематическую (методическую) погрешность анализа. Она является следствием ограничения сигнала по длительности, искажающего результаты спектрального анализа.Назначение специальных весовых функций или окон – сглаживание или ослабление вызываемого временным усечением влияния или эффекта разрывов сигнала на краях.
2.1.3. Масштабирование результатов анализа спектра по ДПФ
Дальнейшая обработка выходных данных ДПФ осуществляется с учетом измеряемых или оцениваемых с помощью ДПФ спектральных характеристик, зависящих от вида анализируемых сигналов.
Для периодических сигналов xp(n) с периодом N×Tд оценивают амплитуды
и фазы 
гармоник с частотой k×fд/N или их средние за период мощности 
.Для детерминированных сигналов конечной длительности x(n) (непериодических) оценивают:
· спектральную плотность
размерностью [В/Гц], определяемую ее модулем | | и аргументом 
, т.е. амплитудным и фазовым спектрами и вычисляемую на частотах анализа ω=ωk или бинах ДПФ;· энергетический спектр или спектральную плотность энергии Sx(ω) (
) размерностью [В2×с/Гц], показывающую распределение энергии сигнала по частоте и также вычисляемую на дискретных частотах ωk.При реализации конкретных алгоритмов спектрального анализа различных сигналов важное значение имеет правильное масштабирование результатов анализа и учета их размерности [5].
Если ДПФ определяется выражением
, то масштабирование выполняется следующими ниже указанными способами.Для вещественного периодического сигнала 
xp(n) с периодом N×Tд и частотами гармоник k×fд/N, совпадающими с бинами ДПФ,
· амплитуды гармоник определяются как
,· фазы –
,· средние мощности как
.Для детерминированного сигнала конечной длительности N×Tд аналогичным образом находятся амплитуды, фазы и мощности k-й частотной выборки спектра сигнала, а спектральная плотность сигнала на частотах ωk определяется как Tд×X(j×ωk). Другие спектральные характеристики такого сигнала связаны с его ДПФ соотношениями:
· Sx(k)=|Tд×X(j×ωk)|2 − спектральная плотность энергии на частоте ωk;