Методические указания и контрольные задания №3 и №4 по курсу теория электрических цепей для студентов заочного факультета 3 курса (стр. 8 из 11)

, (3.13)

где d(t) – импульсная функция (функция Дирака).

2. Расчет выходного напряжения

временным методов.

2.1. Использование интеграла Дюамеля.

Из известных четырех формул интеграла Дюамеля наиболее общий характер имеет формула вида

(3.14)

в обозначениях величин и понятий, принятых в рассматриваемой задаче. Переменной интегрирования в (3.14) является t (не путать с постоянной времени

).

Входное напряжение

имеет форму прямоугольного импульса (рис. 3.8), аналитическая запись которого может быть представлена как

(3.15)

Из (3.15) следует, что

и что производная = 0 или для переменной = 0.

Число участников интегрирования в (3.14) определяется числом участков в функции, описывающей входной сигнал, в которых она непрерывна и дифференцируема [1, с. 188]. Для функции (3.15) таких участков в виде интервалов времени два:

и . Необходимость учета второго участка, когда , объясняется тем, что за время действия импульса в реактивных элементах цепи накапливается энергия электрического и магнитного полей, которая после окончания импульса постепенно убывает до нуля, создавая напряжение и токи в цепи. Анализ этих величин и проводится в интервале .

Важнейшей характерной особенностью аппарата интеграла Дюамеля является то, что при записи реакции цепи на каждом новом интервале времени наличие скачкообразного изменения входного сигнала в начальный момент рассматриваемого интервала учитывается дополнительным слагаемым вида

,

где DU – амплитуда скачка;

– момент действия скачка.

Учитывая сказанное, запишем выходное напряжение цепи в соответствие с (3.14) и (3.12):

для интервала времени

. (3.16)

для интервала времени

(3.17)

2.2. Использование интеграла наложения.

В отличие от интеграла Дюамеля в интеграле наложения не учитываются дополнительными слагаемыми скачки входного напряжения:

, (3.18)

С учетом (3.13) реакция (3.18) заданной цепи на прямоугольный импульс будет равна:

для интервала времени

,

Используя фильтрующее свойство импульсной d-функции [1. стр. 173], получим

,

Для интервала времени

Сравнение результатов расчетов напряжения

с использованием интегралов наложения и Дюамеля показывает, что они совпадают между собой.

3. Построение временной диаграммы входного и выходного напряжений.

Диаграмма выходного напряжения строится с использованием формул (3.16) и (3.17) путем подстановки в них соответствующих моментов времени. Результаты расчетов сводятся в таблицу 5.

Таблица 5

Время,	0	0,3	0,6
нс	0	18	36	60	60	100	140	180
, В	4	4	4	4	0	0	0	0
, В	3	3,4	3,6	3,8	0,8	0,28	0,03	0,01

Рис. 3.9

Из таблицы 5 видно, что

в момент рассчитывается дважды: при по формуле (3.16), а при по формуле (3.17). Именно при такой методике можно определить будет ли скачкообразное изменение в форме выходного сигнала в момент изменения функции, описывающей входной сигнал, как это и показано в рассматриваемом примере.

Выбор расчетных точек в интервале

определяется временем затухающего переходного процесса, которое зависит от постоянной времени цепи, равной = 40 нс.

Временные диаграммы входного и выходного напряжений показаны на рис. 3.9.

4. Расчет комплексной спектральной плотности входного

и выходного сигналов.

Для расчета комплексной спектральной плотности непериодического сигнала f(t) произвольной формы используется прямое преобразование Фурье:

.

Для заданного входного сигнала (3.15) преобразование Фурье дает выражение

,

которое после преобразований (в контрольной работе показать эти преобразования) принимает более удобную форму

. (3.19)

Комплексная спектральная плотность выходного сигнала находится по формуле

, (3.20)

где

– комплексная передаточная функция цепи по напряжению. Функция находится как отношение комплексного значения гармонического напряжения на выходе цепи к комплексному значения гармонического напряжения той же частоты, приложенному ко входу цепи:

.

Для схемы, приведенной на рис. 3.7 а легко получить:

.

Тогда

. (3.21)

Анализ (3.21) позволяет сделать вывод, что комплексная передаточная функция цепи по напряжению определяется только элементами цепи и является безразмерной величиной.